2017-2018 学年人教 B 版高中数学学案132.2 复数的乘法复数的乘法32.3 复数的除法复数的除法明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.进一步理解共轭复数的概念及性质1复数的乘法法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2复数乘法的运算律对任意复数 z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z33.复数的除法法则设 z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.z1z2abicdiacbdc2d2bcadc2d2情境导学我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？探究点一 复数乘除法的运算思考 1 怎样进行复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可思考 2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1.例 1 计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；2017-2018 学年人教 B 版高中数学学案2(3)(1i)2.解 (1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)212ii22i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪训练 1 计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解 (1)(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.思考 3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)例 2 计算：(1)；43i43i43i43i(2)()6.1i1i2 3i3 2i解 (1)原式43i243i43i43i243i43i16924i423216924i4232724i25724i25；1425(2)方法一 原式61i22 2 3i 3 2i 32 22i61i.62i3i 65方法二 (技巧解法)原式61i22 2 3ii 3 2iii61i. 2 3ii2 3i反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练 2 计算：(1)；(2).7i34i1i2ii解 (1)1i.7i34i7i34i34i34i2525i252017-2018 学年人教 B 版高中数学学案3(2)13i.1i2ii3ii3iiii探究点二 共轭复数及其应用思考 1 复数 abi 及其共轭复数之积是实数还是虚数？答 复数 abi 的共轭复数表示为 abi，由于 (abi)(abi)a2b2 ，所以两个共轭复数之积为实数思考 2 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即 z zR，利用这个性质可证明一个复数为实数z(3)若 z0 且 z 0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数z思考 3 z 与|z|2和| |2有什么关系？zz答 z |z|2| |2.zz例 3 已知复数 z 满足|z|1，且(34i)z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 zabi(a，bR)，则 abi 且|z|1，即 a2b21.za2b2因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z 是纯虚数，所以 3a4b0，且 3b4a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i，或 i.z4535z4535反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪训练 3 已知复数 z 满足：z 2iz86i，求复数 z 的实部与虚部的和z解 设 zabi(a，bR)，则 z a2b2，za2b22i(abi)86i，即 a2b22b2ai86i，Error!，解得Error!，ab4，复数 z 的实部与虚部的和是 4.1设复数 z 满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( )Ai BiC1 D1答案 A2017-2018 学年人教 B 版高中数学学案4解析 z i.1i2已知集合 M1,2，zi，i 为虚数单位，N3,4，MN4，则复数 z 等于( )A2i B2i C4i D4i答案 C解析 由 MN4得 zi4，z 4i.4i3复数等于( )i212iAi BiC i D i45354535答案 A4复数 z(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )2i2iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D解析 因为 z，故复数 z 对应的点在第四象限，选 D.2i2i2i2534i5呈重点、现规律1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化