2017-2018 学年高中数学北师大版必修 1 学案1学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值知识点一 函数的最大(小)值思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1 为什么不是最小值？梳理 对于函数 yf(x)，其定义域为 D，如果存在 x0D，f(x)M，使得对于任意的xD，都有 f(x)M，那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值，即当 xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最大值，记作 ymaxf(x0)知识点二 函数的最大(小)值的几何意义思考 函数 yx2，x1,1的图像如图所示：试指出函数的最大值、最小值和相应的 x 的值2017-2018 学年高中数学北师大版必修 1 学案2梳理 一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个类型一 借助单调性求最值例 1 已知函数 f(x)(x0)，求函数的最大值和最小值xx21反思与感悟 (1)若函数 yf(x)在区间a，b上递增，则 f(x)的最大值为 f(b)，最小值为f(a)(2)若函数 yf(x)在区间a，b上递减，则 f(x)的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)(3)若函数 yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势跟踪训练 1 已知函数 f(x)(x2,6)，求函数的最大值和最小值2x1类型二 求二次函数的最值2017-2018 学年高中数学北师大版必修 1 学案3例 2 (1)已知函数 f(x)x22x3，若 x0,2，求函数 f(x)的最值；(2)已知函数 f(x)x22x3，若 xt，t2，求函数 f(x)的最值；(3)已知函数 f(x)x23，求函数 f(x)的最值；x(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到 1 m)反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)x42x23，求函数 f(x)的最值；(2)求二次函数 f(x)x22ax2 在2,4上的最小值；(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系那么水流喷出的高度 h(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的函数关系式为hx22x ，x0， 求水流喷出的高度 h 的最大值是多少？54522017-2018 学年高中数学北师大版必修 1 学案4类型三 函数最值的应用例 3 已知 x2xa0 对任意 x(0，)恒成立，求实数 a 的取值范围引申探究把例 3 中“x(0，)”改为“x( ，)” ，再求 a 的取值范围12反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意 xD，f(x)a 恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina 来解决任意 xD，f(x)0，x1x210，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上递减f(x)maxf(1) ，无最小值12跟踪训练 1 解 设 x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且 x10，(x11)(x21)0，于是 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以函数 y在区间2,6上是减函数2x12017-2018 学年高中数学北师大版必修 1 学案7因此，函数 y在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值，2x1即在 x2 时取得最大值，最大值是 2，在 x6 时取得最小值，最小值是 .25例 2 解 (1)函数 f(x)x22x3 开口向上，对称轴 x1，f(x)在0,1上递减，在1,2上递增，且 f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)对称轴 x1，当 1t2 即 t1 时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.当11 时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数最大值为 g(t)，最小值为 (t)，则有 g(t)Error!(t)Error!(3)设t(t0)，x则 x23t22t3.x由(1)知 yt22t3(t0)在0,1上递减，在1，)上递增当 t1 即 x1 时，f(x)min4，无最大值(4)作出函数 h(t)4.9t214.7t18 的图像(如图)显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度2017-2018 学年高中数学北师大版必修 1 学案8由二次函数的知识，对于函数 h(t)4.9t214.7t18，我们有：当 t1.5 时，14.72 4.9函数有最大值 h29.4 4.9 1814.724 4.9于是，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为 29 m.跟踪训练 2 解 (1)设 x2t(t0)，则 x42x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上递减，在1，)上递增当 t1 即 x1 时，f(x)min4，无最大值(2)函数图像的对称轴是 xa，当 a4 时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当 2a4 时，f(x)minf(a)2a2.f(x)minError!(3)由函数 hx22x ，x0， 的图像可知，函数图像的顶点就是水流喷出的最高5452点此时函数取得最大值对于函数 hx22x ，x0， ，5452当 x1 时，函数有最大值 hmax1221 .5494于是水流喷出的最高高度是 m.94例 3 解 方法一 令 yx2xa，2017-2018 学年高中数学北师大版必修 1 学案9要使 x2xa0 对任意 x(0，)恒成立，只需 ymin0，解得 a .4a1414实数 a 的取值范围是( ，)14方法二 x2xa0 可化为 ax2x.要使 ax2x 对任意 x(0，)恒成立，只需 a(x2x)max，又(x2x)max ，a .1414实数 a 的取值范围是( ， )14引申探究 解 f(x)x2x 在( ，)上为减函数，12f(x)的值域为(， )，14要使 ax2x 对任意 x( ，)恒成立，只需 a ，1214a 的取值范围是 ，)14跟踪训练 3 解 x0，ax2x1 可化为 a .1x21x要使 a 对任意 x(0,1恒成立，1x21x只需 a( )min.1x21x设 t ，x(0,1，t1.1x t2t(t )2 .1x21x1214当 t1 时，(t2t)min0，即 x1 时，( )min0，1x21xa0.a 的取值范围是(，0当堂训练2017-2018 学年高中数学北师大版必修 1 学案101C 2.A 3.B 4.A 5.D