12 2数数 列列1已知数列an中a11，an1Error!(1)是否存在实数，使得数列a2n是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)若Sn是数列an的前n项和，求满足Sn0 的所有正整数n.解 (1)由已知，得a2(n1)a2n1(2n1)1 3 a2n3(2n)2n1a2n1.1 31 3令a2(n1) (a2n)，得a2(n1)a2n，所以 .1 31 32 33 2此时，a2 1 .1 33 21 6所以存在 ，使得数列a2n是等比数列3 2(2)由(1)知，数列是首项为 ，公比为 的等比数列，a2n3 21 61 3所以a2n n1 ，3 21 6(1 3)1 21 3n即a2n.1 2(31 3n)由a2na2n1(2n1)，得a2n13a2n3(2n1)6n3，1 33 2(31 3n)所以a2n1a2n6n33 2(31 3n)1 2(31 3n)2n6n9，(1 3)所以S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)26(12n)9n3n26n1，1 3(1 3)2(1 3)n1 3n从而S2n1S2na2n 3n26n .3 21 3n5 2因为和3n26n3(n1)23 在nN N*时均单调递减，所以S2n和S2n1均各自单调1 3n递减计算得S11，S2 ，S3 ，S4 ，7 37 38 92所以满足Sn0 的所有正整数n的值为 1 和 2.2已知数列an的前n项和为Sn，设数列bn满足bn2(Sn1Sn)Snn(Sn1Sn)(nN N*)(1)若数列an为等差数列，且bn0，求数列an的通项公式；(2)若a11，a23，且数列a2n1，a2n都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等式b2n0.1 253 2所以f(n)2n8 在n7(nN N*)时也单调递增，1 2 2n(5n52)当n1 时，f(1)50，所以满足条件的正整数n的集合为1,2,3,4,5,63已知等差数列an的前n项和为Sn，且 2a5a313，S416.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tn(1)iai，若对一切正整数n，不等式Tnm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，请说明理由解 (1)设数列an的公差为d.因为 2a5a313，S416，所以Error!解得Error!所以an2n1，Snn2.(2)当n为偶数时，设n2k，kN N*，则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k.代入不等式Tn4k.因为kN N*，所以4k的最大值为4，所以4.综上，的取值范围为(4,2)(3)假设存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列，则(SmS2)2S2(SnSm)，即(m24)24(n2m2)，所以 4n2(m22)212，即 4n2(m22)212，即(2nm22)(2nm22)12.因为nm2，所以n4，m3，所以 2nm2215.因为 2nm22 是整数，所以等式(2nm22)(2nm22)12 不成立，故不存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列4若一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称这个数列为“A型数列”(1)若首项为 1，公差为整数的等差数列an为“A型数列” ，且其前n项和为Sn，若对于任意nN N*，都有Sn2，由a11，得Snnd，且S13，3n n13 n1d3，又d2，d3，an3n2.(2)设数列an的公比为q，则ana1qn1，5an的每一项均为正整数，且an1ananqanan(q1)20，a10，且q1，an1anq(anan1)anan1，即在anan1中，a2a1为最小项，同理，在bnbn1中，b2b1为最小项，由an为“A型数列” ，可知只需a2a12，即a1(q1)2，又bn不是“A型数列” ，且b2b1为最小项，b2b12，即a1(q1)3，由数列an的每一项均为正整数，可得a1(q1)3，a11，q4 或a13，q2.当a11，q4 时，an4n1，则cn，4n1n12n52n3 n1令dncn1cn(nN N*)，则dn2n3，2n4 n22n3 n1nn1n2令endn1dn(nN N*)，则en2n42n30，n1n2n3nn1n22n3 n2n2n2n1n3dn为递增数列，即dndn1dn2d1，即cn1cncncn1cn1cn2c2c1，c2c18 2，32 38 3对任意的nN N*都有cn1cn2，即数列cn为“A型数列” 当a13，q2 时，an32n1，则cn，32n1n12n548 n1显然，cn为递减数列，c2c102，故数列cn不是“A型数列” ；综上所述，当an4n1时，数列cn为“A型数列” ，当an32n1时，数列cn不是“A型数列”