北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案1第二节第二节 参数方程参数方程考纲传真 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程(对应学生用书第 161 页)基础知识填充1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数Error!并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么Error!就是曲线的参数方程3常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)Error!(t为参数)圆x2y2r2Error!(为参数)椭圆1(ab0)x2 a2y2 b2Error!(为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为 1 时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)参数方程Error!中的x，y都是参数t的函数( )(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为Error!(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数M0M量( )(3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆( )北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案2(4)已知椭圆的参数方程Error!(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原 3点，则直线OM的斜率为.( )3答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)曲线Error!(为参数)的对称中心( )A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1 上D在直线yx1 上B B 由Error!得Error!所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1 为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上3(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：Error!(t为参数)的普通方程为_xy10 由x2t，且y1t，2222消去t，得xy1，即xy10.4在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2的参数方程为Error!(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_(2 2，4 4) 由(cos sin )2，得xy2.由Error!消去t得y28x.联立得Error!即交点坐标为(2，4)5(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为Error!(t为参数)，椭圆C的参数方程为Error!(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长. 【导学号：00090372】解 椭圆C的普通方程为x21.2 分y2 4将直线l的参数方程Error!代入x21，得21，即 7t216t0，8 分y2 4(11 2t)(32t)24解得t10，t2，所以AB|t1t2|.10 分16 716 7(对应学生用书第 162 页)参数方程与普通方程的互化已知直线l的参数方程为Error!(t为参数)，圆C的参数方程为Error!(为参数)北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案3(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解 (1)直线l的普通方程为 2xy2a0，2 分圆C的普通方程为x2y216.4 分(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，8 分|2a|5解得2a2.10 分55规律方法 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形变式训练 1 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：Error!(t为参数)过椭圆C：Error!(为参数)的右顶点，求常数a的值解 直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为1，4 分x2 9y2 4所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，则 30a0，所以a3.10 分参数方程的应用(2018合肥模拟)已知曲线C：1，直线l：Error!(t为参数)x2 4y2 9(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解 (1)曲线C的参数方程为Error!(为参数)直线l的普通方程为 2xy60.4 分(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 556|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且 tan .8 分d sin 302 554 3当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为.22 55北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案4当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为.10 分2 55规律方法 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题2对于形如Error!(t为参数)，当a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题变式训练 2 (2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为Error!(为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角. 6(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值. 【导学号：00090373】解 (1)由Error!消去，得圆C的普通方程为x2y216.2 分又直线l过点P(1,2)且倾斜角， 6所以l的参数方程为Error!即Error!(t为参数).4 分(2)把直线l的参数方程Error!代入x2y216，得2216，t2(2)t110，(132t)(21 2t)3所以t1t211，8 分由参数方程的几何意义，|PA|PB|t1t2|11.10 分参数方程与极坐标方程的综合应用(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为Error!(t为参数)，直线l2的参数方程为Error!(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径2解 (1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；1 分消去参数m得l2的普通方程l2：y (x2).2 分1 k设P(x，y)，由题设得Error!消去k得x2y24(y0)北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案5所以C的普通方程为x2y24(y0).4 分(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，).5 分联立Error!得cos sin 2(cos sin ).6 分故 tan ，从而 cos2，sin2.8 分1 39 101 10代入2(cos2sin2)4 得25，所以交点M的极径为.10 分5规律方法 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，可化繁为简变式训练 3 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为Error!(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.( 4)2(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解 (1)C1的普通方程为y21，2 分x2 3由于曲线C2的方程为sin2，( 4)2所以sin cos 4，因此曲线C2的直角坐标方程为xy40.4 分(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )3因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，8 分又d()，| 3cos sin 4|22|sin( 3)2|当且仅当2k(kZ Z)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标 62为.10 分(3 2，1 2)