北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案1第第 2 2 课时课时 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值(对应学生用书第 38 页)利用导数解决函数的极值问题角度 1 根据函数图像判断函数极值的情况设函数f(x)在 R R 上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图 2113 所示，则下列结论中一定成立的是( )图 2113A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D D 由题图可知，当x2 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0；当1x2 时，f(x)0；当x2 时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2 处取得极大值，在x2 处取得极小值角度 2 求已知函数的极值(2017全国卷)若x2 是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为( )A1 B2e3C5e3D1A A 函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2 是函数f(x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由 ex10 恒成立，得x2 或x1 时，f(x)0，且x0；21 时，f(x)0.所以x1 是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选 A角度 3 已知函数极值求参数的值或范围(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1 时有极值 0，则ab_.(2)(2018湖北调考)已知函数f(x)x24x3ln x在(t，t1)上存在极值1 2点，则实数t的取值范围为_(1)7 (2)(0,1)(2,3) (1)由题意得f(x)3x26axb，则Error!解得Error!或Error!经检验当a1，b3 时，函数f(x)在x1 处无法取得极值，而a2，b9 满足题意，故ab7.(2)由题意得f(x)x4 (x0)由3 xx24x3 x(x3)(x1) xf(x)0 得x1 或x3，所以要使函数f(x)在(t，t1)上存在极值点，则t1t1 或t3t1，即 0t1 或 2t3，所以实数t的取值范围为(0,1)(2,3)规律方法 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练 (1)已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1 处取得极大值 10，则 的值a b为( )【导学号：79140081】北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案3A B22 3C2 或D不存在2 3(2)函数y2x的极大值是_1 x2(1 1)C C (2 2)3 3 (1)f(x)x3ax2bxa27a，f(x)3x22axb，由题意知f(1)32ab0，b32a，又f(1)1aba27a10，将代入整理得a28a120，解得a2 或a6.当a2 时，b1；当a6时，b9. 2 或 ，故选 Ca ba b2 3(2)y2，令y0，得x1.2 x3当x1 时，y0；当1x0 时，y0；当x0 时，y0，所以当x1 时，y取极大值3.利用导数解决函数的最值问题(2017北京高考)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值0， 2解 (1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，(0， 2)所以h(x)在区间上单调递减0， 2所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.(0， 2所以函数f(x)在区间上单调递减0， 2北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案4因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.0， 2( 2) 2规律方法 求函数fx在a，b上的最大值、最小值的步骤1求函数在a，b内的极值.2求函数在区间端点的函数值fa，fb.3将函数fx的极值与fa，fb比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.跟踪训练 设函数f(x)aln xbx2(x0)，若函数f(x)在x1 处与直线y 相1 2切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值1 e，e解 (1)f(x) 2bx，a x因为函数f(x)在x1 处与直线y 相切，1 2所以Error!解得Error!(2)由(1)知，f(x)ln xx2，f(x) x，1 21 x1x2 x因为当 xe 时，令f(x)0，得 x1；1 e1 e令f(x)0，得 1xe，所以f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，1 e，1)所以f(x)maxf(1) .1 2函数极值与最值的综合问题已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4 时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围. 【导学号：79140082】解 (1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x) 2.a xa2x x北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案5当a4 时，f(x).2x4 x所以当 0x2 时，f(x)0，即f(x)单调递减；当x2 时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2 时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4 时，f(x)只有极小值 44ln 2.(2)因为f(x)，a2x x所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0 时，由f(x)0 得，x ，所以f(x)在上单调递增；a 2(a 2，)由f(x)0 得，x ，所以f(x)在上单调递减a 2(0，a 2)所以当a0 时，f(x)的最小值为f(a 2)aln2.(a 2)(a 2)根据题意得faln2a，(a 2)(a 2)(a 2)即aln(a)ln 20.因为a0，所以 ln(a)ln 20，解得a2，所以实数a的取值范围是2,0)规律方法 解决函数极值、最值问题的策略1求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.2求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较才能下结论，即函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.跟踪训练 已知函数f(x)Error!(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在区间1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值解 (1)当x1 时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0 或x ，2 3当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，2 3)2 3(2 3，1)北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案6f(x)00f(x)极小值极大值所以当x0 时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x .2 3(2)当1x1 时，由(1)知，函数f(x)在1,0)和上单调递减，在(2 3，1)上单调递增(0，2 3)因为f(1)2，f，f(0)0，所以f(x)在1,1)上的最大值为 2.(2 3)4 27当 1xe 时，f(x)aln x，当a0 时，f(x)0；当a0 时，f(x)在1，e上单调递增所以f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.所以当a2 时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2 时，f(x)在1，e上的最大值为 2.