北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案1第九节第九节 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题考纲传真 (教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想(对应学生用书第 148 页)基础知识填充1直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：AxByC0，圆锥曲线C：F(x，y)0，由Error!消去y得到关于x的方程ax2bxc0.(1)当a0 时，设一元二次方程ax2bxc0 的判别式为，则0直线l与圆锥曲线C有两个公共点；0直线l与圆锥曲线C有一个公共点；0直线l与圆锥曲线C有零个公共点(2)当a0，b0 时，即得到一个一元一次方程当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有 1 个或 0 个当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有 1 个2圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|(x1x2)2(y1y2)21k21k2.(x1x2)24x1x21k2|a|知识拓展 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点( )(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点( )北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案2(3)过抛物线y22px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( )(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点( )解析 (1)对椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切(2)错当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切(3)对可转化为到准线的距离来证明(3)正确(4)错当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)直线yk(x1)1 与椭圆1 的位置关系是( )x2 9y2 4A相交 B相切C相离D不确定A A 直线yk(x1)1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交3过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有( )A1 条B2 条C3 条D4 条C C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：一条过点(0,1)且平行于x轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线4直线yx3 与双曲线1(a0，b0)的交点个数是( )b ax2 a2y2 b2A1B2C1 或 2D0A A 因为直线yx3 与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有 1b ab a个交点5过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为 135的直线，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为_16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线y28x的焦点为F(2,0)，直线AB的倾斜角为 135，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40，则x1x212，x1x24，则|AB|x1x2412416.第第 1 1 课时课时 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系(对应学生用书第 149 页)北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案3直线与圆锥曲线的位置关系(2017全国卷)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为 4.x2 4(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，x2 1 4x2 2 4于是直线AB的斜率k1.y1y2 x1x2x1x2 4(2)由 y，得y .x2 4x 2设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)x3 2设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.x2 4当16(m1)0，即m1 时，x1,222.m1从而|AB|x1x2|4.22(m1)由题设知|AB|2|MN|，即 42(m1)，解得m7.2(m1)所以直线AB的方程为yx7.规律方法 1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x或y，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：1消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为 0.2重视“判别式”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.跟踪训练 已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭x2 4y2 2圆C：(1)有两个不重合的公共点；北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案4(2)有且只有一个公共点解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组Error!将代入，整理得 9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知方程组有22两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知方程组有两组2相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点弦长问题(2018广州综合测试(二)已知双曲线y21 的焦点是椭圆x2 5C：1(ab0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. x2 a2y2 b2【导学号：79140304】(1)设椭圆C的方程；(2)设动点M，N在椭圆C上，且|MN|，记直线MN在y轴上的截距为m，求m4 33的最大值解 (1)双曲线y21 的焦点坐标为(，0)，离心率为.x2 56305因为双曲线y21 的焦点是椭圆C：1(ab0)的顶点，且椭圆与双曲线x2 5x2 a2y2 b2的离心率互为倒数，所以a，且，解得b1.6a2b2a306故椭圆C的方程为y21.x2 6(2)因为|MN|2，所以直线MN的斜率存在4 33因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为ykxm.代入椭圆的方程y21 中，x2 6北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案5得(16k2)x212kmx6(m21)0.因为(12km)224(16k2)(m21)24(16k2m2)0，所以m216k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据根与系数的关系得x1x2，12km 16k2x1x26(m21) 16k2则|MN|x1x2|1k21k2(x1x2)24x1x21k2(12km 16k2)224(m21) 16k2.因为|MN|，4 33则.1k2(12km 16k2)224(m21) 16k24 33整理得m2.18k439k27 9(1k2)令k21t1，则k2t1.所以m218t275t50 9t1 975(18t50 t) .752 30 95 3等号成立的条件是t ，此时k2 ，m2 满足m216k2，符合题意5 32 35 3故m的最大值为.153规律方法 弦长的三种常用计算方法1定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.2点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.3弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.易错警示：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况.跟踪训练 (2017宜春中学与新余一中联考)设椭圆M：1(ab0)的离心率y2 a2x2 b2北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案6与双曲线x2y21 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为 4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yx1 交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB22的面积解 (1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e ，2c a22由 2a4， ，b2a2c2，得a2，c，b，c a2222故椭圆M的方程为1.y2 4x2 2(2)联立方程Error!，得 4x22x30，2且Error!，所以|AB|x1x2|.又123(x1x2)24x1x231 23422P到直线AB的距离为d，所以SPAB |AB|d .131 21 242213144中点弦问题(1)在椭圆1 内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )x2 16y2 4【导学号：79140305】Ax4y50 Bx4y50C4xy50D4xy50(2)如图 891，已知椭圆y21 上两个不同的点A，B关于直线ymx 对x2 21 2称则实数m的取值范围为_(1)A A (2) (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，(，63) (63，)B(x2，y2)，则Error!由，得0，(x1x2)(x1x2) 16(y1y2)(y1y2) 4因为Error!所以 ，y1y2 x1x24(x1x2) 16(y1y2)1 4北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案7所以所求直线方程为y1 (x1)，1 4即x4y50.(2)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxB由Error!1 m消去y，得x2xb210.(1 21 m2)2b m因为直线yxb与椭圆y21 有两个不同的交点，所以2b221 mx2 20，4 m2将AB中点M代入直线方程ymx ，解得b，(2mb m22，m2b m22)1 2m22 2m2由得m或m.6363规律方法 处理中点弦问题的常用方法1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式y1y2 x1x2即可求得斜率.2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.跟踪训练 抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0 与抛物线C交于A，B两点若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )Ay2x2By22xCx22yDy2