北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案1课时分层训练课时分层训练( (三十一三十一) ) 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和A A 组 基础达标一、选择题1已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等于( )A1 B2C3D4C C 法一：由题意可得Error!解得a15，d3.法二：a1a72a48，a44，a4a2422d，d3.2(2016全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则a100( )A100B99C98D97C C 法一：an是等差数列，设其公差为d，S9 (a1a9)9a527，a53.9 2又a108，Error!Error!a100a199d199198.故选 C.法二：an是等差数列，S9 (a1a9)9a527，a53.9 2在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选 C.3设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，则n( )A5B6C7D8D D 由题意知Sn2Snan1an22a1(2n1)d22(2n1)36，解得n8.4(2017全国卷)等差数列an的首项为 1，公差不为 0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的和为( )A24B3C3D8A A 由已知条件可得a11，d0，北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案2由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，2 3解得d2.所以S66124.6 5 (2) 2故选 A.5(2018云南二检)已知等差数列an中，a111，a51，则an的前n项和Sn的最大值是( )【导学号：79140173】A15B20C26D30C C 设数列an的公差为d，则d (a5a1)3，所以an113(n1)1 4143n，令an143n0，解得n，所以Sn的最大值为14 3S4411(3)26，故选 C.4 3 2二、填空题6在等差数列an中，公差d ，前 100 项的和S10045，则1 2a1a3a5a99_.10 S100(a1a100)45，a1a1000.9100 2a1a99a1a100d0.4，则a1a3a5a99(a1a99)0.410.50 250 27 九章算术是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是_15 斤 由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a14，a52，则S515，故金箠重 15 斤5(a1a5) 28在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8 时Sn取得最大值，则d的取值范围为_. 【导学号：79140174】由题意，当且仅当n8 时Sn有最大值，可得Error!即Error!解得(1，7 8)北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案31d .7 8三、解答题9在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解 (1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得 12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.n1(32n) 2由Sk35，可得 2kk235，即k22k350，解得k7 或k5.又kN N，故k7.10已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项公式bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Sn nTn.解 (1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.k(k1) 2k(k1) 2由Sk110，得k2k1100，解得k10 或k11(舍去)，故a2，k10.(2)证明：由(1)得Snn(n1)，n(22n) 2则bnn1，Sn n故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以Tn.n(2n1) 2n(n3) 2北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案4B B 组 能力提升11(2018呼和浩特一调)等差数列an中，a28，前 6 项的和S666，设bn，Tnb1b2bn，则Tn( )2 (n1)anA1B11 n11 n2C. D 1 21 n11 21 n2D D 由题意得Error!解得Error!所以an2n4，因此bn2 (n1)(2n4)，所以Tn ，故1 (n1)(n2)1 n11 n21 21 31 31 41 n11 n21 21 n2选 D.12设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列” 已知等差Sn S2n数列bn的首项为 1，公差不为 0，若数列bn为“吉祥数列” ，则数列bn的通项公式为( )Abnn1Bbn2n1Cbnn1Dbn2n1B B 设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dkSn S2n1 2，2n1 2 2n(2n1)d即 2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k ，1 4所以数列bn的通项公式为bn2n1.13设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则正整数m的值为_5 因为等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，数列的公差d1，amam1Sm1Sm15，即 2a12m15，所以a13m.由Sm(3m)m10，m(m1) 2北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案5解得正整数m的值为 5.14已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数. 【导学号：79140175】(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解 (1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令 2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列