北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案1第六节第六节 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理考纲传真 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(对应学生用书第 50 页)基础知识填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R为ABC外接圆半a sin Ab sin Bc sin C径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C公式变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ca 2Rb 2Rc 2Rcos A；b2c2a2 2bccos B；c2a2b2 2cacos Ca2b2c2 2ab2. 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解3. 三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；1 2(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A1 21 21 2(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1 2知识拓展1三角形内角和定理在ABC中，ABC；北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案2变形： .AB 2 2C 22三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sincos ；(4)cossin .AB 2C 2AB 2C 23在ABC中，sin Asin BABabcosAcos BABab基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有 sin Asin B( )(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形( )(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或 135.( )32(4)在ABC中，.( )a sin Aabc sin Asin Bsin C解析 (1)正确ABabsin Asin B(2)错误由 cos A0 知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形b2c2a2 2bc(3)错误由ba知，BA(4)正确利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)在ABC中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形D不能确定C C 由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余a 2Rb 2Rc 2R弦定理得 cos C0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形a2b2c2 2ab3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A ，则b( )52 3A B 23C2 D3D D 由余弦定理得 5b242b2 ，2 3解得b3 或b (舍去)，故选 D1 3北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案34(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C已知C60，b，c3，则A_.67575 如图，由正弦定理，得，sin B.3 sin 606sin B22又cb，B45，A180604575.5在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_. 3【导学号：00090109】2 由题意及余弦定理得 cos A ，解得c2，所以3b2c2a2 2bcc21612 2 4 c1 2Sbcsin A 42sin 602.1 21 23(对应学生用书第 51 页)利用正、余弦定理解三角形(1)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C( )2A B 12 6CD 4 3(2)在ABC中，BAC，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长3 42B B (1)因为a2，c，2所以由正弦定理可知，2 sin A2sin C故 sin Asin C2又B(AC)，故 sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案4又C为ABC的内角，故 sin C0，则 sin Acos A0，即 tan A1.又A(0，)，所以A.3 4从而 sin Csin A .1222221 2由A知C为锐角，故C.3 4 6故选 B(2)设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos223 41836(36)90，所以a3.10又由正弦定理得 sin B，bsinBAC a33 101010由题设知 0B， 4所以 cos B.1sin 2B11 103 1010在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.ABsin B sin2B6sin B 2sin Bcos B3 cos B10规律方法 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练 1 (1)(2017郑州模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为( )3A30 B45 C60 D120(2)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A ，cos 4 5北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案5C，a1，则b_.5 13(1 1)A A (2 2) (1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(a2 21 1 1 13 3a sin Ab sin Bc sin Cc)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即33b2c2a2ac，a2c2b2aC又cos B，cos 33a2c2b2 2acB，B30.32(2)在ABC中，cos A ，cos C，4 55 13sin A ，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C 3 512 133 55 134 5.12 1363 65又，b.a sin Ab sin Basin B sin A1 63 65 3 521 13判断三角形的形状(1)(2017东北三省四市二联)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos Abcos B，则ABC的形状为( )【导学号：00090110】A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2018广州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2c2a2bc，若 sin Bsin Csin2A，则ABC的形状是( )A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形(1 1)D D (2 2)C C (1)因为acos Abcos B，由正弦定理得 sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以 2A2B或 2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰 2三角形或直角三角形，故选 D(2)由b2c2a2bc得 cos A .b2c2a2 2bcbc 2bc1 2北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案6A(0，)，A. 3由 sin Bsin Csin2A得bca2，代入b2c2a2bc得(bc)20，即bc，从而ABC是等边三角形规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练 2 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是( )A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形B B 法一：由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB法二：由正弦定理得 2acos Bc，再由余弦定理得 2aca2b2aBa2c2b2 2ac与三角形面积有关的问题(2015全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C(1)若ab，求 cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积2解 (1)由题设及正弦定理可得b22aC2 分又ab，可得b2c，a2C由余弦定理可得 cos B .5 分a2c2b2 2ac1 4(2)由(1)知b22aC7 分因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.9 分2所以ABC的面积为 1.12 分1 222规律方法 三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一1 21 21 2个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练 3 (2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2cos 北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案7C(acos Bbcos A)C(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长73 32解 (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(AB)sin C，3 分故 2sin Ccos Csin C可得 cos C ，所以C.5 分1 2 3(2)由已知得absin C.1 23 32又C，所以ab6.9 分 3由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为 5.12 分7