习题六 1. 什么是第一类错误? 什么是第二类错误?答: 本来原假设H0为真,但由于样本的随机性,结果拒绝了H0,判为不 符合H0,这就是“弃真”错误.也就是第一类错误.本来原假设H0为伪,也因为样本的随机性,结果接受了H0,使我们犯 了“存伪”错误.称为第二类错误. 2. 何谓显著性水平? 答: 根据实际问题的要求,规定一个界限(00 ,或 H0 : 0 , H1 : 2.58 这不是小概率事件. 应该否定假设H0.这说明,不能认为抗断 强度是32.50公斤/ ,即8. 某厂生产的钢筋断裂强度 =35 (公斤/ ) 今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本,得到的样本均值 较以 往的均值大17(公斤/ ) . 设总体方差不变,问能否认为这批钢筋 的强度有明显提高( =0.05 , =0.1 )?假设 H0 的否定域为解: 由题意已知方差, 要检测(均值)假设(即强度没有明显提高)用U检验 (单侧检验) 选择统计量(1) 当=0.05时,查表,得N(0,1)否定域为(2) 当=0.1时,查表,得 否定域为由此可见,在=0.05下不能否定H0(小概率事件),而在=0下,需要否定 H0.故可以认为这批钢筋的强度在水平=0.05下没有明显提高, 在 =0.1 下有明显提高.9. 某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是 1120 小时, 现从一批新生产 的灯泡中抽取 8 个样本, 测得其平均寿命为 1070 小时, 样本方差 试检验灯泡的平均寿命有无变化( =0.05 , =0.01 )?解:本题未知方差 ,需要检测(均值)为样本方差 假设 选择统计量用t检验 (双侧检验)(1) 当=0.05时,查t分布表,得=2.365否定域为(1) 当=0.01时,否定域为=1.297故没有理由拒绝H0.这说明,可以 认为灯泡的寿命没有显著变化.10.正常人的脉搏平均为72次/分,今对某种病患者10人,测其脉博 为54, 68, 65, 77, 70, 64, 69, 72, 62, 71(次/分).设患者的脉搏次数X服 从正态分布,试在显著水平=0.05下检验患者的脉搏与正常人的脉搏 有无差异?解:本题未知方差 ,需要检测(均值) 假设选择统计量用t检验(双侧检验)否定域为2.262(属于否定域)因此拒绝H0. 即认为患者的脉搏与正常人的脉搏有显著差异.=0.0511. 过去某工厂向A公司订购原材料,自订货日开始至交货日止,平 均49.1日.现改为向B公司订购原料.随机抽取向B公司订的8次货,交货 天数为:46, 38, 40, 39, 52, 35, 48, 44,问B公司交货日期是否较A公司为 短(=0.05)?解:本题未知方差 ,需要检测(均值) 假设(假设期限长)选择统计量用t检验(单侧检验)=0.05否定域为因此否定H0. 说明B公司交货日期显著比A公司要短.12.用一台自动包装机包装葡萄糖,规定标准每袋净重500克.假定 在正常情况下,糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明,标准差为 15克,现从某一班的产品中随机取出9袋,测得重量为: 497, 506, 518, 511, 524, 510, 488, 515, 512.问包装机工作是否正常 : 1)标准差有无 变化? 2)平均重量是否符合规定标准(=0.05)?解: 从包装机包装的产品中随机取出一袋的重量为随机变量X. 则1) 欲检验标准差有无变化,属于未知均值,检验方差. 这是总体X方 差的双边检验.假设选择统计量用W检验(双侧检验)查 分布表,得否定域为接受H0即标准差无显著变化. 2)平均重量是否符合规定标准(=0.05)?解:此处是已知方差 ,需要检测(均值)假设用U检验(双侧检验)选择统计量N(0,1)查表,得否定域为 1.96故不能拒绝H0. 可以认为平均重量符合规定.13.某种罐头在正常情况下,按规格平均净重379克,标准差为11克, 现抽查十盒,测得如下数据:370.74, 372.80, 386.43, 398.14, 369.21, 381.67, 367.90, 371.93, 386.22, 393.08(克).试根据抽样结果,说明平均 净重和标准差是否符合规格要求 .(提示:检验 H0 : =379, H0 : 11, =0.05 )解:设一只罐头的净重为X, 则 由提示:检验 H0 : =379, H0 : 11, =0.05 (1) 假 设 H0 : =0=379 ; (2) 假 设 H0 : 0=11. 此处未知方差,用t检验(双侧检验) 选择统计量=0.05,n=10否定域为2.262故接受H0.认为平均净重量符合规定.此处未知, 检验方差. 选择统计量否定域为16.919故接受H0.认为标准差符合规定.用W检验(单侧检验)14.为校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试 样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5, 99.2,假设在天平上称量的结果服从正态 分布,问普通天平称量结果与标准天平有无显著差异(=0.05)?解:设试称物件在标准天平上的称量为X,则 (本题需检测普通天平上称量时 有 =100 ) 假 设 H0 : =0=100 此处未知方差 ,用t检验(双侧检验)选择统计量否定域为2.262故接受H0.即普通天平称量结果与标准天平无显著差异.15.某牌香烟生产者自称其尼古丁含量方差为2.3,现随机抽取8支 ,得样本标准差为2.4, 问能否同意生产者的自称?假设香烟中尼古丁 含量服从正态分布, =0.05. 解:本题属于未知均值,检验方差 . 设香烟中尼古丁含量为X,则 假设选择统计量用W检验(双侧检验)否定域为故拒绝H0.不能同意生产者的自称.16.加工某一机器零件,根据其精度要求,标准差不得超过0.9,现从 该产品中抽测19个样本,得样本标准差S=1.2,当=0.05时,可否认为标 准差变大? 解:本题属于未知均值,检验方差 . 假设用W检验(单侧检验)选择统计量否定域为 故不能接受H0.可以认为标准差变大.17.测得A、B两批电子器件的样本的电阻为(单位:欧姆):A . 0.140, 0.138, 0.143, 0.142, 0.144, 0.137B . 0.135, 0.140, 0.142, 0.136, 0.138, 0.140设A、B两批器件的电阻分别服从 试问能否认为A、B两总体服从相同的正态分布?解:设A、B两批电子器件的电阻分别为X和Y, 且 本题需检测均值 与检验方差 首先检验方差 选择统计量(双侧检验)(属于未知均值,检验方差) 查F分布表 (P321),得否定域为故接受H0.可以认为这两批 电子器件的电阻方差相等.再检验均值 此处是已知方差相等,但具体值 未知,需要检测均值.选择统计量(双侧检验)自由度为6+6-2=10否定域为否定域为故接受H0.可以认为这两批电子器件的电阻均值相等.18. 从城市的某区中抽取16名学生测其智商,平均值为107,样本标 准差为10,而从该城市的另一区抽取的16名学生的智尚平均值为112, 标准差为8,试问在显著水平=0.05下,这两组学生智商有无差异?解:分别设这两个区域学生的智商为X与Y,则 由题意,题中未涉及?本题需先检测方差后检测均值. 首先检验方差 (属于未知均值,检验方差) (双侧检验 )选择统计量=F(15,15)否定域为故接受H0.可以认为方差相等.再检验均值 此处是已知方差相等,但具体值 未知,需要检测均值. (双侧检验)选择统计量否定域为故接受H0.可以认为这两组学生智商无显著差异.19. 用老工艺生产的机械零件方差较大,抽查了25个,得 现改用新工艺生产,抽查25个零件,得 ,设两种生产过程皆服 从正态分布,问新工艺的精度是否比老工艺显著地好( =0.05)?解: 设老、新工艺生产的零件尺寸分别为X与Y,则 假设 (假设老工艺比新工艺的精度好)(单侧检验)选择统计量否定域为故拒绝 H0. 可以认为新工艺的精度是比老工艺显著 地好.20.为比较甲乙两种安眠药的疗效,将20名患者分成两组,每组10 人,如服药后延长睡眠时间分别近似服从正态分布,其数据如表所示:a b c d e f g h i j甲 1.9 0.8 1.1 0.1 -0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4乙 0.7 -1.6 -0.2 -1.2 -0.1 3.4 3.7 0.8 0 2.0问在显著水平=0.05下,两种安眠药的疗效有无显著差异?解:设服用甲、乙两种安眠药的患者延长睡眠时间分别为X与Y,则首先检验方差 (属于未知均值,检验方差) (双侧检验 )选择统计量否定域为故接受H0.可以认为方差相等.再检验均值 选择统计量假设否定域为故接受H0.即两种安眠药的疗效无显著差异.