第九章 概率模型9.1 传送系统的效率9.2 报童的诀窍9.3 随机存贮策略9.4 轧钢中的浪费9.5 随机人口模型9.6 航空公司的预订票策略9.7 学生作弊现象的调查和估计确定现象随机现象统计学家和赌场经理对待随机现象的态度几乎一样， 只是前者用的是随机数，后者用的是扑克牌斯汀 骰子赌博的诀窍 敏感问题调查调查问卷：1.敏感问题，2.普通问题；回答：是，否已知普通问题回答“是”的先验概率p被调查人按单双学号回答问题1或2，答卷只有是或否调查目的：敏感问题出现的概率x有多大 ?设调查人数为n，其中回答“是”的人数为m确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型传送带挂钩 产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多.背 景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径.9.1 传送系统的效率问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产. 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标. 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同.模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q如 何 求 概 率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方模型解释若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率 的途径： 增加m 习题1当n远大于1时, E n/2m E与n成正比，与m成反比若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)11(1nmnmD=9.2 报童的诀窍问 题报童售报： a (零售价) b(购进价) c(退回价)售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c每天购进多少份可使收入最大？分 析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量.每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合 适的购进量等于每天收入的期望建 模 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2准 备求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c求解将r视为连续变量结果解释nP1P2取n使a-b 售出一份赚的钱b-c 退回一份赔的钱0rp9.3 随机存贮策略问 题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机； 周末根据库存决定是否订货，供下周销售.(s, S) 存贮策略:下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货，使下周初的库存达到S; 否则，不订货.考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订 （s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小.模型假设 每次订货费c0, 每件商品购进价c1, 每件商品一周贮存费c2, 每件商品缺货损失费c3 (c1n)，每位乘客不按时前来登机的概率p，“各位乘客是否按时前来”相互独立; 3. 每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b.（ =0.6 表示飞机达到60%满员率就不亏本）模型建立1. 每次航班的利润 s= 机票收入飞行费用赔偿金若 m位预订票乘客中有k位不按时前来(按时前来者不超过容量)(按时前来者超过容量)k位乘客不按时前来的概率 (二项分布)平均 利润模型建立2. 公司为维护社会声誉，要求被挤掉者不要太多，用被挤掉者超过若干人的概率作为度量指标 .被挤掉者超过j人(m人中不按时前 来的不超过m- n- j-1人 )的概率 给定n, j, 若m= n+ j, 被挤掉的不会超过j, 即Pj(m)=0 若mn+ j, Pj(m) 随m增加而单调单调 增加 以Pj(m)不超过过某个给给定值为约值为约 束条件 ，以平均利润润S(m)为单为单 目标标函数.优化问题 目标函数模型求解目标函数: 单位费用获得的平均利润 给定 n, , p, b/g (赔偿金占票价的比例), 求 m使 J(m)最大.约束条件容量n, 预订票限额m, 费用r, 调节因子, 赔偿金b,票价 g=r/n, 不按时登机概率p, (1) 给定模型求解mJ(m)P5(m)P10(m)b/g=0.2b/g=0.43000.58330. 5833003020.59390.5939003040.60440.604400 3060.61500.61500.000003080.62540.62540.000003100.63530.63510.00070 3120.64390.64340.00660.00003140.65030.64920.03410.00023160.65400.65170.11230.00233180.65510.65120.26120.01603200.65430.64850.46300.06503220.65230.64450.66660.1780设n=300, =0.6, p=0.05 J(m)在最大值附近变 化很小, 而概率P5(m) 和P10(m)增加很快 应参考J(m)的最大值 , 给定可以接受的, 确定合适的m b/g 由0.2至0.4, J(m) 减少小于2%,可取b/g =0.4 , 以赢赢得声誉 给给定P5(m)0.2, P10(m) 0.05, 3160.65400.65170.11230.0023取 m=316模型改进乘客分为两类, 第一类实施上述预订票业务, 第二类 降低票价, 购票时付款, 不按时前来登机则机票作废. 设设m张预订张预订 票中有t 张张是预预售给给第二类类乘客的， 其折扣票价为为 g (1), 平均利润为润为 日常商务活动如旅店、汽车出租公司等也可以采取类似的促销策略.9.7 学生作弊现象的调查和估计 背 景统计调查中会遇到因涉及个人隐私或利害关系 而不受调查对象欢迎或感到尴尬的所谓敏感问 题, 如是否有考试作弊、赌博、偷税漏税等. 即使无记名调查也很难消除被调查者的顾虑, 极有 可能拒绝或故意做出错误的回答, 难以保证数据的 真实性, 使得调查结果存在很大的误差.以对学生考试作弊现象的调查和估计为例, 建立 数学模型研究敏感问题的调查和估计方法. 设计合理的调查方案来提高应答率, 降低不真实回答 率, 尽量准确地估计有过作弊行为的学生所占的比例 .美国统计学家Wanner1965年最早提出“随机化选答”方法.调查方案设计的基本思路 问题及分析 让被调查者从包含是否作过弊的若干问题中, 随机地 选答其中一个, 让调查者也并不知道被调查者回答的 是哪一个问题, 以便消除被调查者的顾虑，对自己所 选的问题真实作答. Warner模型（正反问题选答）设计两个相反的问题供学生们选答其中一个 ： 问题A. 你在考试中作过弊吗？ 问题B. 你在考试中没有作过弊吗？方案 设计选答 规则 准备一套13张同一花色的扑克(如红心). 被调查的学生随机抽取一张，看后还原. 学生抽取的是不超过10的数（A看作1）， 则回答问题A. 学生抽取的是J、Q或K，则回答问题B. Warner模型 共n位被调查学生均独立作答. 被调查学生一旦选定应回答的问题, 他将真实作答. 选答A题的学生比例为 p. 对问题A，B两题选答“是”的学生共n1位, 选答“是”的 比例(概率)的估计值为模型假设 目 的估计有过作弊行为学生的比例 对问题A回 答“是” (或对问题B回答“否”)的比例(概率) .全概率公式的估计值Warner模型独立同分布 问题A回答“是” (或问题B回答“否”)的概率对两题选答“是”的概率p选答A题的概率.的性质及分析 无偏性 方差方差分解随机选答机制 带来的方差. Warner模型直接调查并真实回答下 的方差(p=1, ) Warner模型的数值结果n=400，A,B两题选答“是”的学生数 n1=112，p=10/13 ，有作弊行为学生 的比例的估计值=0.091估计的标准差=0.042以2倍标准差为估计标准, 有作弊行为学生的比例 Simmons模型 (无关问题选答 )Warner模型的缺陷问题A与B均为敏感性问题，且 p不能为1/2.Simmons 模型调查 方案设计设计供学生们选答的问题：问题A. 你在考试中作过弊吗？问题B. 你生日的月份是偶数吗？ 无关(非敏感)问题Simmons模型模型假设 学生对问题A回答“是”的概率为 ，对问题 B 回答“是”的概率设为 =1/2. 学生中对问题A和B回答“是”的人数为n2， 故对问题 A和B两问选答“是”的概率的估计值 为 目的估计有过作弊行为学生的比例 ，即为对 问题A回答“是” 的概率 选答规则与部分记号同Warner模型的假设. 全概率公式的估计Simmons模型 无偏性 方差当 时 的方差分解公式直接调查并真实 回答下的方差 随机选答机制 带来的方差 Simmons 模型的数值结果n=400， n2=80， p=10/13 ，有作弊行为学生 的比例的估计值 估计的标准差以2倍标准差为估计标准，有作弊行为学生的比例 Simmons模型Simmons模型与Warner模型的精度比较Simmons模型的估计精度比Warner模型的高. 对任意的选答A题的学生比例 p相同Warner模型数值结果Christofides模型（2003） 回答用数字替代 “是”或“否”, 以减少被调查者的顾虑. 准备 工作一套外形相同的卡片，每张卡片上写有1 L 中某一数字，数字为k的卡片在卡片总数中所 占的比例为pk (k=1,2,L), pk不全相等.选答 机制 被调查者随机抽取一张卡片，看后放回； 若被调查者做过弊, 回答L+1与他抽取的数 字之差 ； 若被调查者未做过弊, 回答他抽取的数字 . 假设被调查者按照选答机制独立、真实作答.估计有过作弊行为学生的比例Christofides模型Yi 第 i个被调查者抽到的数字, Yi 独立同分布, Yi, Zi独立. 第 i个被调查者所回答的数字 需要估计的概率做过弊, 回答L+1与抽取数字之差 ； 未做过弊, 回答抽取的数字 . 选答 机制全概率 公式Christofides模型的估计调查数据E(di) 无偏性 方差 方差分解Christofides模型直接调查并真实 回答下的方差 随机选答机制 带来的方差 Chris