诊断基础知识突破高频考点培养解题能力第1讲 空间几何体及其表面积与体积诊断基础知识突破高频考点培养解题能力知 识 梳 理1多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做 ；棱柱两个底面是 ，且对应边互相 ，侧面都是 (2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做 ；棱锥底面是 ，侧面是有一个公共顶点的 (3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做 棱柱 全等多边形 平行 平行四边形 棱锥 多边形 三角形 棱台 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力2旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做 、 、 ；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做 ，球面围成的几何体叫做 ，简称 圆柱 圆锥 圆台 球面 球体 球 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力3柱、锥、台和球的侧面积和体积rl 2rh Sh 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力续表Sh 4R2 Ch 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力4.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 与底面面积之和各面面积之和 矩形 扇形 扇环形 侧面积 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力辨 析 感 悟1柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3a2.()诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力感悟提升两点注意 一是求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点一 空间几何体的结构特征【例1】 给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是矩形的直四棱柱是长方体底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确答案 规律方法 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练1】 设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析 命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的答案 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高求底面正方形的对角线长由勾股定理求OA由球的表面积公式求解(2)BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D，则球心在BC的垂直平分线上，再由对称性求解诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【例4】 (1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为_诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(2)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为直角三角形，ACB90，AC4，BCCC13.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CPPA1最小，则最小值为_诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练4】 如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SDPD6，CRSC，AQAP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答案 3诊断基础知识突破高频考点培养解题能力1对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决2求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积诊断基础知识突破高频考点培养解题能力3与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力方法优化5特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012山东卷)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力反思感悟 (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D1EDF的体积转化为三棱锥FDD1E的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【自主体验】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABCA1B1C1的体积为_诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答案 4