人教 B 版 2017 年必修五示范学案2.2.12.2.1 等差数列等差数列1理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用 3理解等差数列的性质，并掌握等差数列的性质及其应用1等差数列的概念 一般地，如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的差都等于_，那 么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示定义法判断或证明数列an是等差数列的步骤： (1)作差an1an，将差变形； (2)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数， 而是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列 【做一做 1】如果一个数列的前 3 项分别为 1,2,3，下列结论中正确的是( ) A它一定是等差数列 B它一定是递增数列 C它一定是有穷数列 D以上结论都不一定正确 2等差数列的通项公式 如果一个等差数列an的首项为a1，公差为d，则通项公式为_(1)等差数列通项公式的其他形式 anam(nm)d；ananb(a，b是常数) (2)等差数列的判断方法 定义法：anan1d(n2)或an1and数列an是等差数列； 等差中项法：2anan1an1(n2)数列an为等差数列； 通项公式法：ananb数列an是以a1ab为首项，以a为公差的等差数列 【做一做 21】已知数列an的通项公式为an2(n1)3，则此数列( ) A是公差为 2 的等差数列 B是公差为 3 的等差数列 C是公差为 5 的等差数列 D不是等差数列 【做一做 22】等差数列 1，1，3，89 的项数是( ) A92 B47 C46 D45 3等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的_x，A，y是等差 数列的充要条件是_(1)a，A，b成等差数列的充要条件是：2Aab.当三个数成等差数列时，一般设为人教 B 版 2017 年必修五示范学案ad，a，ad；四个数成等差数列时，一般设为a3d，ad，ad，a3d. (2)在等差数列an中，从第 2 项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an1，等价于anan2 2anan22an1，an1anan2an1. 【做一做 3】在ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于( ) A30 B60 C90 D120一、解读等差数列的概念 剖析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点， “从第 2 项起”及“同一个常数” 因为 数列的第 1 项没有前一项，因此强调从第 2 项起，如果一个数列，不从第 2 项起，而是从 第 3 项或从第 4 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差 数列，但可以说从第 2 项或第 3 项起是一个等差数列 (2)一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不 一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的 含义的不同，如数列 2,4,5,9，从第 2 项起，每一项与它前一项的差都是常数，但常数是 不相同的，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数” ，这个“同一个” 十分重要，切记不可丢掉 二、等差数列的性质 剖析：若数列an是公差为d的等差数列， (1)d0 时，数列为常数列；d0 时，数列为递增数列；d0 时，数列为递减数列(2)d(m，n，kN N)ana1 n1amak mk(3)anam(nm)d(n，mN N) (4)若mnpq(m，n，p，qN N)，则amanapaq.(5)若k，则aman2ak.mn 2(6)若数列an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末 两项之和，即a1ana2an1ai1ani. (7)数列anb(，b是常数)是公差为d的等差数列 (8)下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，ak2m，(k，mN N)组成公差为md的 等差数列 (9)若数列bn也为等差数列，则anbn，kanb(k，b为非零常数)也成等差数 列 (10)若an是等差数列，则a1，a3，a5，仍成等差数列 (11)若an是等差数列，则a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，仍成等差数列用性质(4)时要注意，序号的和相等，但项数不同，此结论不一定正确，如 a8a2a6，a1a3a4a2a6，就不一定正确 三、教材中的“？” (1)通项公式为ananb(a，b是常数)的数列都是等差数列吗？ 剖析：通项公式为ananb(a，b为常数)的数列都是等差数列，其公差为a.人教 B 版 2017 年必修五示范学案(2)怎么证明A？xy 2剖析：x，A，y成等差数列，AxyA，即 2Axy.A.xy 2(3)要确定一个等差数列的通项公式，需要知道几个独立的条件？ 剖析：因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d，所以要确定一个等差数列的 通项公式，需要知道两个独立的条件题型一 等差数列定义的应用 【例 1】判断下列数列是否为等差数列 (1)an3n2；(2)ann2n. 分析：利用等差数列的定义，即判断an1an(nN N)是否为同一个常数 反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看an1an得到的结果是否是一个与n无 关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列 题型二 等差数列的通项公式 【例 2】(1)求等差数列 10,7,4，的第 20 项 (2)201 是不是等差数列5，9，13，的项？若是，应是第几项？ 分析：通过题目中给出的数列，可以确定数列的首项和公差，便可求解 反思：求等差数列的通项公式、项、项数的问题是等差数列最基本的问题，利用已知 条件求等差数列的首项和公差是常用方法，应牢记等差数列的通项公式 题型三 等差数列性质的应用 【例 3】数列an为等差数列，已知a2a5a89，a3a5a721，求数列an的通项 公式 分析：已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项，可利用a1，d建立方程组来求 解但是，注意到a2，a5，a8及a3，a5，a7的各项序号之间的关系，也可考虑利用等差数 列的性质来求解，此法运算量较小 反思：在有关等差数列的问题中，若已知的项的序号成等差数列，则解决问题的过程 中，均可考虑利用等差数列的性质 题型四 构造等差数列求通项公式 【例 4】(1)数列an的各项均为正数，且满足an1an21，a11，求an；an(2)在数列an中，a11，且满足an1，求an.2an an2分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求an. 反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式构造等差数列的方法 一般有：平方法、开平方法、倒数法等 题型五 易错辨析 【例 5】已知b是a，c的等差中项，且 lg(a1)，lg(b1)，lg(c1)成等差数列， 同时abc15，求a，b，c的值 错解：因为b是a，c的等差中项， 所以 2bac. 又因为abc15， 所以 3b15，所以b5. 设a，b，c的公差为d，人教 B 版 2017 年必修五示范学案则a5d，c5d. 由题可知 2lg(b1)lg(a1)lg(c1)， 所以 2lg 4lg(5d1)lg(5d1) 所以 1625(d1)2. 所以(d1)29，即d13. 所以d4，所以a，b，c分别为 1,5,9. 错因分析：解方程(d1)29 时，d1 应取3 两个而错解只取d13，漏掉了 d13 的情况 【例 6】已知两个数列an：5,8,11，与bn：3,7,11，它们的项数均为 100， 则它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 错解：由已知两等差数列的前 3 项，容易求得它们的通项公式分别为 an3n2，bn4n1(1n100)令anbn，得 3n24n1，即n3.所以两数列只 有 1 个数值相同的项，即第 3 项 错因分析：本题中所说的数值相同的项，它们的项的序号并不一定相同例如 23 在数 列an中是第 7 项，而在数列bn中是第 6 项，我们也说它是两个数列中数值相同的项， 也就是说，在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不关心它是这两个数 列中的第几项1 已知m和 2n的等差中项是 4,2m和n的等差中项是 5，则m和n的等差中项是( ) A2 B3 C6 D9 2 在等差数列an中，a33a8a13120，则a3a13a8( ) A24 B22 C20 D8 3 若数列an的通项公式为an6n7，则这个数列_(填“是”或“不是”)等 差数列 4 在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_. 答案：答案： 基础知识基础知识梳理梳理 1第 2 项 同一个常数 公差 d 【做一做 1】D 2ana1(n1)d 【做一做 21】A 已知a17，anan12(n2)，故这是一个以 2 为公差的等差数 列 【做一做 22】C 由已知，得a11，d(1)12， an1(n1)(2)2n3. 令2n389，得n46. 3等差中项 2Axy 【做一做 3】B 典型例题典型例题领悟领悟 【例 1】解：解：(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN N)由n的任意性知，这 个数列为等差数列 (2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差 数列 【例 2】解：解：(1)由a110，d7103，n20，得a2010(201)(3) 47. (2)由a15，d9(5)4，得数列的通项公式为an5(n1)(4)人教 B 版 2017 年必修五示范学案4n1.设4n1201 成立，解得n50.所以201 是这个等差数列的第 50 项 【例 3】解：解：a2a82a5， a2a5a83a59.a53. a2a8a3a76. 又a3a5a721， a3a77. 由解得a31，a77 或a37，a71. a31，d2 或a37，d2. 由通项公式的变形公式ana3(n3)d， 得an2n7 或an2n13. 【例 4】解：解：(1)由an1an21，可得an1(1)2.an0，ananan1 1，即1.是首项为1，公差为 1 的等差数列anan1anana1 1(n1)n.ann2.an(2)由an1，可得 ，2an an21 an11 an1 2是首项为1，公差为 的等差数列1 an1 a11 21 (n