2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测专题能力训练 16 椭圆、双曲线、抛物线专题能力训练第 38 页 一、能力突破训练1.已知双曲线-=1(a0,b0)的焦距为 2,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,22225则双曲线的方程为( )A.-y2=1B.x2-=12424C.-=1D.-=132203253253220答案：A解析：双曲线-=1(a0,b0)的焦距为 2,22225c=.5又该双曲线的渐近线与直线 2x+y=0 垂直,渐近线方程为 y= x.= ,即 a=2b.12 12a2=4b2.c2-b2=4b2.c2=5b2. 5=5b2.b2=1. a2=c2-b2=5-1=4.故所求双曲线的方程为-y2=1.242.(2017 全国,文 5)已知 F 是双曲线 C:x2-=1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,23点 A 的坐标是(1,3),则APF 的面积为( )A.B.C.D.13122332答案：D解析：由 c2=a2+b2=4,得 c=2,所以点 F 的坐标为(2,0).将 x=2 代入 x2-=1,得 y=3,所以 PF=3.又232018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测点 A 的坐标是(1,3),故APF 的面积为 3(2-1)= ,故选 D.12323.已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:+=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点,P2222为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经 过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A.B.C.D.13122334答案：A解析：由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令 P,(- ,2)设 l:x=my-a,M,E.(- , - )(0, )直线 BM:y=-(x-a). - ( + )又直线 BM 经过 OE 的中点,=,解得 a=3c.e= = ,故选 A.( - )( + )2 134.(2017 天津,文 5)已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,2222OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=12421221224C.-y2=1 D.x2-=12323答案：D解析：双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为 F(c,0),点 A 在双曲线的渐近线上,且OAF 是边22222018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测长为 2 的等边三角形,不妨设点 A 在渐近线 y= x 上, 解得所以双曲线的方程为 x2-=1.故选 D. = 2, = tan60,2+ 2= 2,? = 1, = 3.?235.已知点 P 为双曲线-=1 右支上一点,点 F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M 为PF1F221629的内心.若=+8,则MF1F2的面积为( ) 1 2A.2B.10C.8 D.67答案：B解析：设内切圆的半径为 R,a=4,b=3,c=5.=+8,(|PF1|-|PF2|)R=8, 1 212即 aR=8,R=2.故= 2cR=10. 12126.设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A,B2222两点,与双曲线的一个交点为 P,设 O 为坐标原点.若=m+n(m,nR),且 mn= ,则该29双曲线的离心率为( )A.B.C.D.3 223 553 2498答案：C解析：在 y= x 中令 x=c,得 A,B,在双曲线-=1 中令 x=c 得 P. (, ) (, - )2222(, 2 )当点 P 的坐标为时,由=m+n,(,2 )得则 = ( + ), 2 = - ,? + = 1, - = .?2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测由得或(舍去), + = 1, =29,? =23, =13? =13, =23?= ,= , 132- 2219e=.3 24同理,当点 P 的坐标为时,e=.(, -2 )3 24故该双曲线的离心率为.3 247.已知双曲线 E:-=1(a0,b0).矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个2222焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 . 答案：2解析：由题意不妨设 AB=3,则 BC=2.设 AB,CD 的中点分别为 M,N,如图,则在 RtBMN 中,MN=2,故 BN=2+ 2= .(32)2+ 2252由双曲线的定义可得 2a=BN-BM= - =1,52322018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测而 2c=MN=2,所以双曲线的离心率 e=2.228.已知直线 l1:x-y+5=0 和 l2:x+4=0,抛物线 C:y2=16x,P 是 C 上一动点,则点 P 到 l1与 l2距离 之和的最小值为 . 答案：9 22解析：在同一坐标系中画出直线 l1,l2和曲线 C 如图.P 是 C 上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,d1+d2=d1+|PF|,显然当 PFl1,即 d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.|FM|=,所求最小值为.9 229 229.如图,已知抛物线 C1:y= x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O 的直线 PA,PB14分别与抛物线 C1和圆 C2相切,A,B 为切点.(1)求点 A,B 的坐标; (2)求PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相 切,称该公共点为切点.解(1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t),由消去 y,整理得:x2-4kx+4kt=0, = ( - ), =142?由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t.2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测因此,点 A 的坐标为(2t,t2).设圆 C2的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,故解得02= -02+ 1,0 - 0= 0,?0=21 + 2,0=221 + 2.?因此,点 B 的坐标为.(21 + 2,221 + 2)(2)由(1)知|AP|=t和直线 PA 的方程 tx-y-t2=0.1 + 2点 B 到直线 PA 的距离是 d=.21 + 2设PAB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AP|d= .123210.如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(1,0)构成MAB,且直线 MA,MB 的斜率之积为 4,设动点 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程;(2)设直线 y=x+m(m0)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q,R,且|PQ|0,而当 1 或-1 为方程的根时,m 的值为-1 或 1.结合题设(m0)可知,m0,且 m1.设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则 xQ,xR为方程的两根,因为|PQ|1,且2,1 +321 +32所以 1)的右焦点为 F,右顶点为 A.已知+=,其中 O 为原点,e 为222331|1|3|2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴 交于点 H.若 BFHF,且MOA=MAO,求直线 l 的斜率.解(1)设 F(c,0).由+=,即 + =,可得 a2-c2=3c2,1|1|3|1 1 3( - )又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.2423(2)设直线 l 的斜率为 k(k0),则直线 l 的方程为 y=k(x-2).设 B(xB,yB),由方程组消去 y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.24+23= 1, = ( - 2)?解得 x=2,或 x=,由题意得 xB=,从而 yB=.82- 642+ 382- 642+ 3- 1242+ 3由(1)知,F(1,0),设 H(0,yH),有=(-1,yH),=.由 BFHF,得=0,所以(9 - 4242+ 3,1242+ 3) +=0,解得 yH=.因此直线 MH 的方程为 y=- x+.42- 942+ 31242+ 39 - 42121 9 - 4212设 M(xM,yM),由方程组消去 y,解得 xM=.在MAO 中, = ( - 2), = -1 +9 - 4212?202+ 912(2+ 1)MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+=+,化简得 xM=1,即=1,解得 k=-,222202+ 912(2+ 1)64或 k=.所以,直线 l 的斜率为-或.646464二、思维提升训练12.已知椭圆 E:+=1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆2222E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围45是( )2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测A.B.C.D.(0,32(0,3432,1)34,1)答案：A解析：如图,取椭圆的左焦点 F1,连接 AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形 AF1BF 是平行四边形,|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.a=2.不妨设 M(0,b),则 ,|3 0 - 4|32+ 4245b1.e= =. 1 -()21 -(12)232又 00)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2), 则 C 的方程为( ) A.y2=4x 或 y2=8xB.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x答案：C解析：设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ =5,则 x0=5- .22因为点 F 的坐标为,(2,0)所以以