湘教版九年级数学上册同步测试题小专题小专题(三三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用教材教材 P57 复习题复习题 T15 的变式与应用的变式与应用教材母题：设 x1，x2是关于 x 的方程 x24xk10 的两个实数根请问：是否存在实数 k，使得 x1x2x1x2成立？试说明理由【思路点拨】 先由一元二次方程有两个实数根，判断出 b24ac0，求出 k 的取值范围，再由根与系数的关系求出 x1x2与 x1x2的值，假设存在实数 k 满足条件，可得到关于 k 的一元一次不等式，进而求得不等式的解集，若不等式 x1x2x1x2的解集在 b24ac0 得出的 k 的取值范围内，则存在 k 值，否则，不存在【解答】 不存在理由如下：由题意，得 (4)241(k1)0，解得 k3.由根与系数关系，得 x1x24，x1x2k1.假设存在实数 k，使得 x1x2x1x2，则 k14，解得 k3.这与 k3 矛盾，假设不成立不存在实数 k，使得 x1x2x1x2成立【方法归纳】 (1)解一元二次方程的存在性问题的方法：先假设存在，再根据假设和已知条件推理得出结论，若结论与已知题意相符，则存在，反之，若与题意矛盾，则不存在；(2)一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有实数根，在利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，必须满足 0.变式训练：变式训练：1(湘潭中考)已知关于 x 的一元二次方程 x23xm0 有两个不相等的实数根 x1、x2.(1)求 m 的值；(2)当 x11 时，求另一个根 x2的值解：(1)一元二次方程 x23xm0 有两个不相等的实数根，b24ac(3)241m94m0.m .94(2)x1x23，x11，x22.2已知关于 x 的方程 kx2(2k1)x20.(1)求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根；(2)是否存在实数 k 使方程两根的倒数和为 2？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由湘教版九年级数学上册同步测试题解：(1)证明：当 k0 时，方程变形为 x20，解得 x2；当 k0 时，(2k1)24k2(2k1)2，(2k1)20，0.当 k0 时，方程有实数根无论 k 取任何实数时，方程总有实数根(2)存在理由如下：设方程两根分别为 x1、x2，则x1x2，x1x2 .2k1k2k2，即2，1x11x2x1x2x1x22，即2.2k1k2k2k12解得 k .52故存在实数 k 使方程两根的倒数和为 2.3已知关于 x 的一元二次方程 x22kxk222(1x)有两个实数根 x1、x2.(1)求实数 k 的取值范围；(2)若方程的两实数根 x1、x2满足|x1x2|x1x21，求 k 的值解：(1)方程整理为 x22(k1)xk20.根据题意，得 4(k1)24k20，解得 k .12(2)根据题意，得 x1x22(k1)，x1x2k2.|x1x2|x1x21，|2(k1)|k21.k ，122(k1)k21.整理得 k22k30，湘教版九年级数学上册同步测试题解得 k13，k21(舍去)，k3.4已知关于 x 的一元二次方程 x2(2m3)xm20 有两个实数根 x1，x2.(1)求实数 m 的取值范围；(2)若 x1x26x1x2，求(x1x2)23x1x25 的值解：(1)由题意，得 (2m3)24m24m212m94m212m90，m .34(2)由题意可得 x1x2(2m3)32m，x1x2m2，又x1x26x1x2，32m6m2.m22m30.m13，m21.又m ，34m1.x1x25，x1x21.(x1x2)23x1x25(x1x2)24x1x23x1x25(x1x2)2x1x25521519.5已知关于 x 的方程 x2(k1)x k210 的两根是一个矩形两邻边的长14(1)k 取何值时，方程有两个实数根；(2)当矩形的对角线长为时，求 k 的值；5(3)当 k 为何值时，矩形变为正方形？解：(1)(k1)241( k21)2k3.14方程有两个实数根，0，即 2k30，解得 k .32湘教版九年级数学上册同步测试题当 k 时，方程有两个实数根32(2)设方程 x2(k1)x k210 的两根分别为 a、b，14则 abk1，ab k21.14矩形的对角线长为，即 a2b25，5a2b2(ab)22ab(k1)22( k21)5，14整理，得 k24k120，解得 k2 或 k6(舍去)当矩形的对角线长为时，k 的值为 2.5(3)当矩形为正方形时，方程两根相等，2k30，解得 k .32当 k 时，矩形变为正方形32