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北师大版高中数学选修 2_3 导学案22 超几何分布超几何分布自主整理自主整理一般地,设有 N 件产品,其中有 M(MN)件次品.从中任取 n(nN)件产品,用 X 表示 取出的 n 件产品中次品的个数,那么 P(X=k)=_(其中 k 为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称 X 服从参数为_的超几何 分布. 高手笔记高手笔记 1.超几何分布,实质上就是有总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M(MN)件,从所有物 品中任取 n 件,这 n 件中所含这类物品的件数 X 是一个离散型随机变量,它取值为 k 时的概率为 P(X=k)=n Nkn MNk m CCC (kl,l 是 n 和 M 中较小的一个).2.在超几何分布中,只要知道 N、M 和 n,就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率 P, 从而列出 X 的分布列. 名师解惑名师解惑 1.如何判断随机变量 X 是否服从超几何分布? 剖析:剖析:判断超几何分布时必须满足以下两条: (1)总数为 N 件的物品只分为两类:M(MN)件甲类(或次品),其余的 N-M 件为乙类(或正品).(2)随机变量 X 表示从 N 件物品中任取 n(nN)件物品,其中所含甲类物品的件数. 2.当随机变量 X 服从参数为 N、M、n(MN,nN)的超几何分布时,X 的所有可能取值有哪 些? 剖析:剖析:当 N-Mn 时,X 的所有可能取值为:0,1,2,l(l 为 M 与 n 中较小的一个),例 如(1)从 10 件产品(含有 4 件次品)中取 3 件,其中含有的次品数 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. (2)从 10 件产品(含有 2 件次品)中取 3 件,其中含有的次品数 X 的所有可能取值为 0,1,2. 当 N-M1”的概率.解:解:(1)X 可能取的值为 0,1,2,3,P(X=k)=3 83 53 CCCkk,k=0,1,2,3.所以 X 的分布列为:X0123P5610 5630 5615 561(2)由(1), “所选 3 人中女生人数 X1”的概率为P(X1)=P(X=2)+P(X=3)=72 561 5615.【例 2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个 白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出 5 个球,至少摸到 3 个红球就中奖,求中 奖的概率. 分析:分析:由题意知,摸到红球个数 X 为离散型随机变量,且 X 服从参数为 N=30,M=10,n=5 的超几何分布. 解:解:X 服从超几何分布,且 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,则至少摸到 3 个红球的概 率为:P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=5 300 205 10 5 301 204 10 5 302 203 103 CCC CCC CC0.191 2.故中奖的概率约为 0.191 2. 绿色通道绿色通道: :由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道:第一,当研究的事物涉及二 维离散型随机变量(比如:次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布; 第二,在超几何分布中,只要知道参数 N、M、n 就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率, 进而列出 X 的分布列. 变式训练变式训练 2.从一批有 13 个正品和 2 个次品的产品中任意取 3 个,求抽得次品数 X 的分布列,并求P(21X25).分析:分析:先弄清楚随机变量 X 的取值,符合超几何分布,运用超几何分布的概率计算. 解:解:X 的可能取值为 0,1,2.北师大版高中数学选修 2_3 导学案P(X=0)=35223 153 13CC,P(X=1)=35123 152 131 2CCC,P(X=2)=.3513 151 132 2CCC所以 X 的分布列为:X012P3522 3513 351P(21X25)=P(X=1)+P(X=2)=3513.【例 3】某商场庆“五一”举行促销活动,活动期间凡在商场购物满 88 元的顾客,凭发票 都有一次摸奖机会,摸奖规则如下:准备了 10 个相同的球,其中有 5 个球上印有“奖”字, 另外 5 个球上无任何标志,摸奖前在盒子里摇匀,然后由摸奖者随机地从中摸出 5 个球, 奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如下表:摸出的 5 个球中带“奖”字球的个数奖品0无1无2肥皂一块3洗衣粉一袋4雨伞一把5自行车一辆(1)若某人凭发票摸奖一次,求中奖的概率; (2)若某人凭发票摸奖一次,求奖品为自行车的概率. 分析:分析:可以将 10 个球看作 10 件“产品” ,5 个印有“奖”字的球可以看作 5 件“次品” , 任意取 5 个球中印有“奖”字的球数可以看作是任取 5 件“产品”中所含“次品”数. 解:解:(1)设 X 为摸取 5 个球中印有“奖”字的球的个数,则 X 服从参数为 N=10,M=5,n=5 的超几何分布. X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,则 X 的分布列为:P(X=k)=5 105 55 CCCkk (k=0,1,2,3,4,5),若要获得奖品,只需 X2,则P(X2)=1-P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.1261135 104 51 5 5 105 50 5CCC CCC(2)若要获得自行车,必须 X=5,则P(X=5)=25215 100 55 5CCC.绿色通道绿色通道: :由上面的计算可以看出,顾客获得奖品的概率为1261130.896 8,希望很大.但北师大版高中数学选修 2_3 导学案获得自行车的概率为25210.004 0,希望不大.变式训练变式训练 3已知某社区的 10 位选民代表中有 5 位支持候选人 A,现随机采访他们中间的 4 位,求 其中至少有 2 名支持候选人 A 的概率.解:解:P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.42314 103 51 5 4 104 50 5CCC CCC教材链接教材链接 P40思考交流下列随机变量 X 是否服从超几何分布,如果服从,那么各分布的参数分别 是多少? (1)一个班级共有 45 名同学,其中女生 20 人,现从中任选 7 人,其中女生的人数为 X; (2)从一副扑克牌(去掉大、小王,共 52 张)中取出 n 张牌,取出的黑桃的张数为 X. 答:(1)X 服从参数为 N=45,M=20,n=7 的超几何分布. (2)X 服从参数为 N=52,M=13,n(n52)的超几何分布.
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