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2017-2018 学年苏教版高中数学必修四教案第第 8 8 课时课时 2.42.4 向量的数量积(向量的数量积(1 1)【教学目标教学目标】一、知识与技能(1)掌握向量的数量积及其几何意义;(2)掌握向量数量积的重要性质及运算律;(3)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;(4)掌握向量垂直的条件.二、过程与方法从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积三、情感、态度与价值观通过师生互动,自主探究,交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流【教学重点难点教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用【教学过程教学过程】一、创设情景:一、创设情景:向量的运算有向量的加法、减法、数乘,那么向量与向量能否“相乘”呢?二、新课讲解二、新课讲解引入:引入:物理学中,物体所做的功的计算方法:| |cosWFs (其中是F 与s 的夹角) 1向量的夹角:已知两个向量a 和b (如图 2) ,作OAa ,OBb ,则AOB(0180)叫做向量a 与b 的夹角。当0时,a 与b 同向;当180时,a 与b 反向;当90时,a 与b 的夹角是90,我们说a 与b 垂直,记作ab 2向量数量积的定义:OABab(图 1)sF(图 2)2017-2018 学年苏教版高中数学必修四教案已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为,则数量| | cosab 叫做a 与b 的数量积(或内积) ,记作a b ,即| | cosa bab 说明:两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角有关;实数与向量的积与向量数量积的本质区别:两个向量的数量积是一个数量; 实数与向量的积是一个向量;规定,零向量与任一向量的数量积是0 3、数量积的性质:设a 、b 都是非零向量,是a 与b 的夹角,则cos|a b a b ;当a 与b 同向时,|a ba b ;当a 与b 反向时,|a ba b ;特别地:2|a aa 或|aa a ;| |a ba b ;ab0a b ;若e 是与b 方向相同的单位向量,则|cose aa ea 4数量积的几何意义:(1)投影的概念:如图,OAa , ,过点B作1BB垂直于直线OA,垂足为1B,则1|cosOBb aOABb1BOABba1BOABb1()B2017-2018 学年苏教版高中数学必修四教案|cosb 叫做向量b 在a 方向上的投影,当为锐角时,它是正值;当为钝角时,它是一负值;当90时,它是0;当0时,它是|b ;当180时,它是|b (2)a b 的几何意义:数量积a b 等于a 的长度|a 与b 在a 的方向上的投影|cosb 的乘积。三、例题分析:三、例题分析:例 1 、判断正误,并简要说明理由00 a; 00a; AB0 BA; ab| . |ba;若0a,则对任一非零b,有a0b; ab=0,则a与b至少有一个为0;对任意向量a,b,c都有)()(cbacba; a与b是两个单位向量,则2a2b.例 2、已知向量a与向量b的夹角为,2|a,3|b ,分别在下列条件下求ab:(1) 0135; (2)060; (3)ab; (4) ab.2017-2018 学年苏教版高中数学必修四教案例 3、已知正ABC的边长为2,设BCa ,CAb ,ABc ,求a bb cc a 例 4、已知|3a ,| 3b ,| 2 3c ,且0abc ,求a bb cc a 四、课时小结:四、课时小结:1向量数量积的概念;2向量数量积的几何意义;3向量数量积的性质。五、反馈练习五、反馈练习2017-2018 学年苏教版高中数学必修四教案 值,求的夹角为与若求且已知的取值范围的夹角为锐角时与,求当向量的夹角为和已知的夹角与求若,求的夹角为与若已知)(求:已知垂直,则与,要使的夹角为与已知的夹角是与则且已知特别地,反向时,与当同向时,与当cos2;,) 1 (, 1,2,. 845, 3,2. 7,61232)2(3260) 1 (3, 4. 632)2(1,21, 5, 4. 5_45,2, 2. 4_,36513,12,10. 3_cos_;. 2_,_;_;. 1yxyxbababaybaxbabababababababababababababababaaabbabababababaaaababababa
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