2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案12.4.22.4.2 二次函数的性质二次函数的性质问题导学问题导学 一、二次函数的对称性和单调性 活动与探究 1 已知函数f(x)2x24xc. (1)求该函数图像的对称轴； (2)若f(5)4，求f(3)的值 迁移与应用 若函数f(x)x2bxc满足f(2)f(4) (1)求f(x)图像的对称轴； (2)比较f(1)与f(5)的大小1二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数yax2bxc(a0)的对称轴为x.b 2a(2)若二次函数f(x)对任意x1，x2R R 都有f(x1)f(x2)，则对称轴为x.x1x2 2 (3)若二次函数yf(x)对定义域内所有x都有f(ax)f(ax)，则对称轴为 xa(a为常数) 2利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小 (1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小； (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大 二、二次函数在某区间上的最值(值域) 活动与探究 2 已知函数f(x)x2kxk在区间2,4上具有单调性，求实数k的取值范围 迁移与应用 已知二次函数f(x)x22(m2)xmm2，若函数在区间2，)上为增加的，求 m的取值范围(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向 思维问题解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量 之间的关系，进而求解参数的取值范围 (2)函数在区间(a，b)上单调与函数的单调区间是(a，b)的含义不同，注意区分前者 只能说明(a，b)是相应单调区间的一个子集；而后者说明a，b就是增减区间的分界点，即 函数在a，b两侧具有相反的单调性 活动与探究 3 已知函数f(x)x22ax2，x5,5 (1)当a1 时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)用a表示出函数f(x)在区间5,5上的最值 迁移与应用 1函数y3x26x1，x0,3的最大值是_，最小值是_ 2设f(x)x24x4，xt，t1(tR R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析 式求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案2(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间； (2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口 向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时， 离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大 三、二次函数的实际应用问题 活动与探究 4 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为 25 万元，市场调研表明：当销售单价为 29 万元时，平均每周能售出 8 辆，而当销售单价每降低 0.5 万元时，平均每周能多售出 4 辆如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润销售 单价进货单价) (1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？迁移与应用 某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室， 若可供建造围墙的材料长 30 米，那么宽为_米时，所建造的熊猫居室面积最大， 最大面积是_平方米解实际应用问题的方法步骤当堂检测当堂检测 1函数f(x)x2mx1 的图像关于直线x1 对称，则( ) Am2 Bm2 Cm1 Dm1 2函数yx2bxc在x0，)上是递增的，则( ) Ab0 Bb0 Cb0 Db0 3函数f(x)2x24x1 在区间1,4上的最大值与最小值分别是( ) A1，7 B1，17 C7，17 D7，16 4某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y3x290x，要使利 润获得最大值，则产量应为( ) A10 件 B15 件 C20 件 D30 件 5已知函数yf(x)3x22x1.2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案3(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)求函数的最小值；(3)已知f1，不计算函数值，求f(0)；(2 3)(4)不直接计算函数值，试比较f与f的大小(3 4)(15 4)提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精 华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：答案： 课前预习导学课前预习导学 【预习导引】上 下 b 2a(b 2a，4acb2 4a) (，b 2a b 2a，) (，b 2a低 高 b 2a，)b 2a4acb2 4ab 2a4acb2 4a 预习交流预习交流 1 (1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a有关)和对称轴(与有关)b 2a (2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该 闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到 预习交流预习交流 2 提示：直线xa. 课堂合作探究课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究活动与探究 1 思路分析：思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f(5)4 求得 c的值，确定解析式后再计算f(3)的值，也可直接利用对称性计算 解：解：(1)由于f(x)2x24xc2(x1)2c2. 所以其图像的对称轴为x1. (2)方法一：由f(5)4 可得2(5)24(5)c4， 于是c34，因此f(x)2x24x34. 所以f(3)23243344. 方法二：由于f(x)的图像关于x1 对称， 又5 和 3 关于x1 对称， 所以f(5)f(3)，而f(5)4，故f(3)4. 迁移与应用迁移与应用 解：解：(1)由于f(2)f(4)，而2 和 4 关于x1 对称，所以f(x)图像 的对称轴是x1. (2)函数f(x)x2bxc图像的开口向上，对称轴为x1，所以离对称轴越近，函 数值越小 而|11|2，|51|4， 所以f(1)f(5)2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案4活动与探究活动与探究 2 思路分析：思路分析：首先求出f(x)的单调区间，要使f(x)在2,4上具有单调 性，须使区间2,4为f(x)单调区间的子集从而建立不等式求解k的取值范围解：解：f(x)x2kxk2，(xk 2)k24k 4f(x)的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x .k 2 要使f(x)在区间2,4上具有单调性，须2,4或2,4.(，k 2k 2，)即 4 或 2，k 2k 2 解得k8 或k4.迁移与应用迁移与应用 解：解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴x，函数在区间2(m2) 22，)上是增加的，故2，解得m0.2(m2) 2 活动与探究活动与探究 3 思路分析：思路分析：(1)将a1代入配方写最值(2)配方写对称轴分类讨论结论 解：解：(1)当a1 时， f(x)x22x2(x1)21. 因为 15,5， 故当x1 时，f(x)取得最小值，且f(x)minf(1)1； 当x5 时，f(x)取得最大值， 且f(x)maxf(5)(51)2137. (2)函数f(x)x22ax2(xa)22a2的图像开口向上，对称轴为直线xa. 当a5，即a5 时，函数在区间5,5上是增加的，所以f(x)maxf(5) 2710a， f(x)minf(5)2710a. 当5a0，即 0a5 时，函数图像如图(1)所示由图像可得f(x)minf(a)2a2， f(x)maxf(5)2710a. 当 0a5，即5a0 时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f(x)maxf(5) 2710a， f(x)minf(a)2a2. 当a5，即a5 时，函数在区间5,5上是减少的，所以f(x)minf(5) 2710a，f(x)maxf(5)2710a. 迁移与应用迁移与应用 110 2 解析：解析：y3(x1)22，该函数的图像如图所示2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案5从图像易知：f(x)maxf(3)10，f(x)minf(1)2. 2解：解：由f(x)x24x4(x2)28，xt，t1，知对称轴为直线x2. 当t2t1，即 1t2 时，g(t)f(2)8； 当t12，即t1 时，f(x)在t，t1上是减少的，g(t)f(t1)t22t7. 当t2 时，f(x)在t，t1上是增加的， g(t)f(t)t24t4. 综上，可得g(t)Error! 活动与探究活动与探究 4 思路分析：思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润销售单价进货 单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润通过二次函数求最 值可得汽车合适的销售单价 解：解：(1)因为y2925x， 所以yx4(0x4)(2)zy(8x8)(x4)8x224x32(0x4)(8x 0.5 4)(3)由(2)知，z8x224x328(x1.5)250(0x4)，故当x1.5 时， zmax50. 所以当销售单价为 291.527.5 万元时，每周的销售利润最大，最大利润为 50 万 元迁移与应用迁移与应用 5 75 解析：解析：设长方形的宽为x米，则每个长方形的长为米，其303x 2 中 0x10. 故所求居室面积Sx(303x)3(10xx2)3(x5)275(0x10)， 所以当x5 时，Smax75(平方米) 即当宽为 5 米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为 75 平方米 【当堂检测】1A 解析：解析：函数f(x)x2mx1 的图像的对称轴为x ，且只有一条对称轴，m 2所以 1，即m2.m 22A 解析：解析：函数yx2bxc的对称轴是x ；要使该函数在x0，)上b 2递增，须 0，所以b0.b 2 3B 解析：解析：由于f(x)2x24x12(x1)21，图像的对称轴为x1，开 口向下，所以当x1 时，f(x)取最大值 1，当x4 时，f(x)取最小值17. 4B 解析：解析：由二次函数解析式y3x290x3(x15)2675 可知，当x15 时，y取最大值2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案65解：解：yf(x)3x22x132 .(x1 3)2 3(1)顶点坐标为，对称轴是直线x .(1 3，2 3)1 3(2)当x 时，ymin .1 32 3(3)函数图像关于直线x