2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案12.2.12.2.1 函数概念函数概念问题导学问题导学 一、函数关系的判断 活动与探究 1 判断下列对应关系能否构成集合A到B的函数？ (1)AR R，Bx|x0，f：xy|x|； (2)AZ Z，BZ Z，f：xyx2x； (3)AZ Z，BZ Z，f：xy；x(4)AN N，BR R，f：xy.x迁移与应用 设集合Ax|1x2，By|1y4，则下述对应关系f中，不能构成集合A到 B的函数是_(只填序号) f：xyx2；f：xy3x2； f：xyx4；f：xy4x2.判断所给对应关系是否是函数关系的两个条件是： (1)看是否是两个非空数集的对应 (2)看是否满足任意性、存在性、唯一性 总之，对应关系可以一对一，多对一，但不可一对多 二、相同函数的判断问题 活动与探究 2 下列各组函数是否表示同一函数？为什么？ (1)f(x)|x|，(t)；(2)y，y()2；t2x2x(3)y，y；x1x1x21(4)y，y.1x1x1x2迁移与应用 下列函数与函数yx1 是同一函数吗？请说明理由：(1)y；(2)y；(3)yt1.x22x1x21 x1(1)判定两个函数是否表示同一函数，要看三要素的实质是否对应相同由于没有特殊 的要求，函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只需判断定义域和对应关系是否 都相同即可 (2)两个函数是否相同，与表示自变量和函数值的字母无关 三、求函数的定义域 活动与探究 3 (1)求下列函数的定义域：y(x1)0；y；y.1 x24x1x1 (2)设一个矩形的周长为 80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数解析式，并写 出定义域 迁移与应用1函数f(x)的定义域是( )x21 x3 A2,3)2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案2B(3，) C2,3)(3，) D(2,3)(3，) 2如果关于x的函数f(x)的定义域是x|x1，则实数a等于_ax1求函数的定义域应遵循的几个依据 (1)f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R R. (2)f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 (3)f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集 合 (4)f(x)是由几部分数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实 数集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集) (5)f(x)是零次幂时，底数不能为零 2求函数的定义域时应注意的几点： (1)求函数的定义域之前，不能随意对函数解析式进行化简变形 (2)函数的定义域必须要写成集合或区间的形式 (3)实际应用问题中函数的定义域还必须要考虑变量的实际意义 四、求函数值及函数的值域 活动与探究 4已知f(x)(xR R，且x1)，g(x)x22(xR R)1 1x (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求fg(2)的值； (3)求f(2x)及fg(x)； (4)求f(x)，g(x)的值域 迁移与应用 1求下列函数的值域： (1)y2x1，x1,2,3,4,5； (2)y2x1，x1； (3)y1.x2已知函数f(x).x1 x2 (1)求f(2)； (2)若f(m)2，求m的值； (3)求函数f(x)的值域1要熟记常见函数的值域： (1)一次函数ykxb的值域为 R R；(2)反比例函数y (k0)的值域为y|y0；k x(3)二次函数yax2bxc的值域，当a0 时是；当a0 时，是4acb2 4a，).(，4acb2 4a2形如y的函数，在求其值域时，要先对解析式进行变形，分离出一个常数，axb cxd2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案3然后再结合反比例函数的值域进行求解； 3求函数的值域之前，应先确定函数的定义域，对同一个函数，其定义域发生变化， 其值域也会随之改变； 4函数的值域也要写成集合或区间的形式 当堂检测当堂检测 1对于函数yf(x)，以下说法正确的有( ) y是x的函数； 对于不同的x，y的值也不同； f(a)表示当xa时函数f(x)的值，是一个常量； f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2与函数yx是同一个函数的是( ) Ay|x| Byx2Cy Dytx2 x 3给定集合Ax|0x6，By|0y3，则下列对应关系不能表示集合A到 B的函数的是( )Af：xyx1 2Bf：xyx1 3 Cf：xy2x Df：xyx4函数f(x)的定义域为_x12x 5已知函数f(x)的定义域为(16,25)，则它的值域为_x提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基 本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：答案： 课前预习导学课前预习导学 【预习导引】 1非空数集 唯一确定 函数 f：AB yf(x)，xA 自变量 定义域 值域 预习交流预习交流 1 (1)提示：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函 数的三要素其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心当且仅当两个函数的三 要素都相同时，这两个函数才相同又因为值域由定义域和对应关系确定，所以只要两个 函数的定义域相同，对应关系也相同，它们就是同一个函数 (2)提示：函数的定义域和值域都不能是空集该式中满足x30 且 1x0 的实数 x不存在，因此该式不能表示一个函数关系2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案4(3)提示：不一定值域由定义域和对应关系f确定，若设函数的值域为C，则有CB. (4)提示：“yf(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；f(x)是一个整体，f(x)并 不表示f与x的乘积，而表示从x的取值范围(集合A)到函数值的集合的一个函数 (5)提示：f(x)与f(a)是不同的，f(x)表示的是一个函数，是一个变量，而f(a)则表 示函数f(x)当xa时的函数值，是一个常数 (6)提示：不一定如函数yx与yx1 的定义域与值域都是 R R，但它们是不相同 的函数 2(1)a，b (a，b) a，b) (a，b 端点 (2)a，) (a，) (，a (，a) 预习交流预习交流 2 提示：区间是实数集合的另一种表示形式，因此区间一定是集合，但集 合不一定是区间，并不是所有的数集都能用区间表示，例如：集合1,2就无法用区间表 示 课堂合作探究课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究活动与探究 1 思路分析：思路分析：根据函数的定义，检验所给的对应关系是否满足以下几个 条件： (1)A，B是否是非空数集； (2)A中的每一个元素是否在B中都有与之对应的元素； (3)A中的每一个元素在B中与之对应的元素是否是唯一的 解：解：(1)不能构成集合A到B的函数，因为A中的元素 0 在B中没有元素与之相对 应(2)能构成集合A到B的函数，因为它满足函数的定义(3)不能构成集合A到B的函 数，比如A中的元素2 在B中没有元素与之相对应(4)不能构成集合A到B的函数，比 如A中的元素 4 在B中有两个元素与之相对应 迁移与应用迁移与应用 解析：解析：容易判断能构成A到B的函数，对于，考虑输入值 2，即当x2 时，y4220，而 0B，所以不能构成A到B的函数 活动与探究活动与探究 2 思路分析：思路分析：只有定义域与对应关系分别相同的两个函数才是同一函 数 解：解：对于(1)：在公共定义域 R R 上，f(x)|x|和(t)|t|的对应关系完全相同，只 是表示形式不同；对于(2)：前者xR R，后者x0，两者定义域不同；对于(3)：前者定义 域为x|x1，后者定义域为x|x1，或x1；对于(4)：在公共定义域 x|1x1上，yy.1x1x1x2由上述可知(1)与(4)中的两个函数分别表示同一函数，(2)与(3)中的两个函数分别表 示不同的函数 迁移与应用迁移与应用 解：解：(1)y|x1|与yx1 的对应关系不同，x22x1故y与yx1 不是同一函数x22x1(2)yx1，x21 x1 定义域为x|x1， 而yx1 的定义域为 R R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数 (3)yt1 与yx1 的定义域均为 R R，对应关系又完全相同，因此是同一函数 活动与探究活动与探究 3 思路分析：思路分析：对于(1)，要从所给函数解析式的结构入手，使各个部分同 时有意义，列出不等式或不等式组求解得出定义域；对于(2)，可由面积公式得到解析式， 同时从变量x的实际意义出发求出定义域 解：解：(1)要使函数有意义，应满足x10，即x1.2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案5故函数的定义域为x|x1 要使函数有意义，应满足x240，即x2，故函数的定义域为x|x2，且 x2 要使函数有意义，应满足Error!即Error! 故函数的定义域是x|x1，且x1(2)由题意知，另一边长为，且每边长都为正数，所以802x 2Sx(40x)x，802x 2 且Error!得 0x40， 所以函数的定义域为x|0x40 迁移与应用迁移与应用 1C 解析：解析：由Error!解得x2，且x3. 21 解析：解析：要使f(x)有意义，应满足ax0，即xa， 由于函数的定义域为x|x1，因此有a1. 活动与探究活动与探究 4 思路分析：思路分析：解决求值问题，先分清对应关系，再代入求值求值域问 题首先确定定义域解：解：(1)f(x)，1 1xf(2) .1 121 3 又g(x)x22， g(2)2226.(2)fg(2)f(6) .1 161 7(3)f(2x)，1 12x1 x3fg(x).1 1x221 x23(4)y的定义域为x|x1，1 x1 f(x)的值域是yR R|y0(或(，0)(0，) yx22 的定义域为 R R，且x20， yx222，此时y的最小值为 2. g(x)的值域是2，) 迁移与应用迁移与应用 1解：解：(1)由x的取值得该函数的值域为3,5,7,9,11 (2)x1，2x2. 2x11. 函数的值域为(，1 (3)0，11.xx该函数的值域是1，)2解：解：(1)f(2) .21 223 4(2)f(m)2，m3.m1 m2(3)f(x)1，x1 x2x21 x21 x22018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案60，11.f(x)1，1 x21 x2 即函数的值域是(，1)(1，) 【当堂检测】 1B 解析：解析：不对，如f(x)x2，当x1 时y1；不对，f(x)不一定可以用 一个具体的式子表示出来 2D 3C 解析：解析：对于选项 C 中的