第四章：风险评估的定量分析 学习目标： 1、认识风险评估定量分析的意义 2、运用已发损失导出法估计赔偿申请的未来支付。 3、掌握并运用风险暴露的损失导出法，以及运作成本概率 分布计算最大可能损失。 4、阈值概率与风险经理对风险成承受能力的关系，并明确 风险承受能力对风险经理估算最大可能成本的影响 5、掌握在三种理论概率分布下，估计损失额超过给定阈值 概率的方法。一、风险估算的作用1、为风险管理部门编制预算提供依据。 预算在成本实际发生之前就编制的，风险管理部门的运作在某 一个预算范围内进行的，合理的费用预测是建立在对风险准确衡量 的基础上。 2、为估计当前决策的未来效果提供数据基础。风险经理要对各种决策的未来效果进行比较，才能从中选出较优的 决策。 二、索赔估计（claim estimation） （一）相关的名词解释1、索赔（claim）：受害人或者委托人向责任方申请得 到补偿。2、已报索赔（reported claim）：事故的责任方已经收到 要求赔偿的通知。3、未报赔偿（unreported claim）：事故已经发生但是责 任方尚未收到要求赔偿的通知。4、已结索赔（closed claim）：赔偿责任已经确定，并且 已经支付了全部赔偿金额。5、未结索赔（open claim）：赔偿责任尚未确定。6、准备金（reserve）：未结赔款的估计赔偿金额。（二）、索赔评估方法 1、损失导出法（loss development method ）这种方法是在赔偿金和赔偿时间不确定的 情况下，依赖于历史数据，用历史数据的平 均值来估计赔偿案件数和金额的方法。提问：为什么要用平均值而不用任意一次 索赔的数据作为标准进行评估？例题1：一家人造心脏瓣膜工厂的风险经理根据历史 数据发现：1/3与产品质量相关的索赔案件都发生在 产品售出后的一年内，剩余的发生在随后的10年内。 如果1983年产品在1年内索赔10件，那么他们认为 在19841993年之间还会有20件类似的索赔案件发生 。这20件索赔案在1983年评估当年并没有发生，但是风 险经理根据科学的统计认为产品在售出时已经发生了质量 问题，只是在以后10年里才陆续报赔。他们把这种案件叫做已发生但是未报道的索赔（ incurred but not reported claim）。这种方法叫做：已发损失导出法（incurred loss development method）。其中：导出因子最终索赔的案件数/已报道的案件数。 例题2：该人工瓣膜工厂经过11年积累和分析，得出该 厂的相关数据如表4.1。估计1993年发生赔案的件数以 及已发生但未报道案件总数。表4.1索赔案件数量的导出因子进入该行 业的年数 123456789= 10导出因子 3.33 1.57 1.191.081.051.041.031.021.011.00根据各年的统计19831993年已报赔案件数已知，整理 得下表： 表：用已发生损失导出法确定索赔案件数年份 已报赔 案件 数 导出因子 最终索赔案件数的期望值 1983301.0030 1984211.00211985181.0118.18 1986421.0242.84 1987281.0328.84 1988251.0426.00 1989321.0533.60 1990271.0829.16 1991351.0941.65 1992331.5751.81 1993193.3363.27 合计310386.35可见：1993年最终索赔案件数将是63.27起，11年中已发生但是未报 赔的案件数：（386.35310）76.35件。2、以损失暴露为基础的损失导出法（ exposure-based loss development method）又称为表见损失导出法（tabular loss development method）,假定所有的赔偿事件都可以确定。这些事件可以按照潜在索赔的可能性来划分标准风险 单位，然后利用一个标准单位的相关数据来确定索赔情 况。例题3某建筑公司的雇员包括：建筑工人、行政人员、监 督人员、管理人员以及相关支持性工种（物料供应、 后勤保障等）。根据统计，建筑工人每1.5年会发生一次重大工伤 ，以100美元为一个单位，他们的年平均工资为 300100美元。以一个建筑工人年为一个标准风险单位 。行政人员30年遭受一次工伤，其年平均工资为20000 美元；监督人员每11年发生一次工伤，年平均工资为 20000美元。求一年中索赔案的总件数和总金额。分析：以一个建筑工人年为标准风险单位。一年中工人 发生工伤的次数为：1/1.52/3次，其收入为300单位 。行政人员发生2/3次事故需要：302/320年，其 20年的收入为：202004000单位。即，一个风险单 位可以包括的行政人员的人数为：4000/30013.33（练习） 一个风险单位可以包含的监督人员的数量。由于下一年聘用的员工人数大致是可知的，因此可 以绘制出下表： 表：建筑公司风险单位划分及索赔评估（每件赔案平均索 赔金12000美元）职业类 别 一个风险单 位包括人数 第二年预计员 工数风险单 位估 计 建筑工人 1.00233.4233.4 行政人员 13.3363.54.8 监管人员 4.2727.66.5管理者 6.556.81.0支持工种 2.1355.225.9总计：271.6 下一年发生索赔案件的总数期望值：（2/3）（271.6）181.6件 下一年预计的总索赔支出：（12000）（181.6）2172800美元（三）索赔评估的数据类型和来源1、公司可以根据自己的历史数据，按照每年发生实际索 赔情况的数据整理，评估导出因子。例如：人工心脏瓣膜工厂19831985年数据整理年份 报赔案件 导出因子 1983 9 1984 18 19/9=2.11(83) 1985 22 21/19=1.11(83修正);19/8=2.13(84)“损失三角” 2、向外部机构（咨询机构、保险机构）获取 数据。优点：弥补公司自己搜集信息周期长的缺点， 尤其是新进领域务相关数据积累的缺陷；咨询机构 距遥信息广泛性、专用性和权威性的优势。3、注意随时调整信息，更新数据。 （四）赔偿期限（timing of claim payments）时间对各种经济变量都具有非凡意义（持有现金与储蓄的 区别），对赔偿实际结果的影响也不例外.拖延赔偿时间意味着赔偿金持有人能够获得投资收益（至 少是存款利息收入）。实际事故赔偿中，赔款往往不是一次性付清，而是通过 一系列支付完成的，即机构化结算（structure settlement）。这 种支付方式对赔款的影响不是表面的，它具有实质性的意义。例4、公司按照协议对一起事件采取结构化结算，分10年赔偿，每年支出比例在 协议中列出，市场利率为6，分析实际赔偿情况。（以单位“1”代替赔款总额） 。表：赔偿金额的时间分配以及对实际赔偿的影响 从索赔发生到现在的年数 赔款金额 1美元的现值 赔偿金额现值 10.30 0.94340.2830 20.200.8900 0.1780 30.100.8396 0.0840 40.100.7921 0.0792 50.080.7473 0.0598 60.070.7473 0.0494 70.050.6651 0.0333 80.040.6274 0.0251 90.030.5919 0.0178 100.030.5584 0.0168 合计10.8264 由此可见，风险经理只需要在索赔发生的当年准备（0.8264赔偿金额）的 资金就能够满足今后支付赔偿金的要求。 三、精确度估计（estimates of precision）以上对风险费用预期值的估算提供了方法，但是同时 出现了另一个问题，该预测的合理性程度如何，即预测结 果的精确度问题。风险经理在编制预算时认为最大可能损失（maximun possible loss）是可能发生的最大损失,最大可能损失必须低 于预算金额，才能保证风险管理预算资金的充足。最大可能损失的估计取决于两个因素：一是真实费用围绕期望值可能的分布；二是费用超过估计最大值时，风险经理愿意承受多大的超出额，即风险容差(risk tolerance)。（一）单一时期MPC的计算 1、基本概率回顾（1）互斥事件 （2）相互独立事件 (3)相关事件： （4）概率分布：每一种可能结果发生的概率情况（结合风险容差可以确定MPC）例见表4.5书852、数据不足时的总体统计在数据不足的情况下，一般采用两个指标对风险状况进行总体衡量：期望值和标准差： （二）概率分布与风险衡量风险衡量都是以三种理论概率分布为基础的：二项分布（ the binominal distribution）、正态分布（the normal distribution）和泊松分布（the Poisson distribution）。 中心极限定理认为在满足一定条件时，二项分布和泊松分布 可以近似看作正态分布：风险单位相互独立；每个单位面临的损失金额的概率分布完全相同；损失概率分布的方差存在。1、三种概率分布的回顾 （1）正态分布是一个双参数分布，只要确定期望值和方差就可以确定整个分 布。其突出的特征是对称性。例如：期望值为5000，超过5000的概率在右半部分为0.5，低于 5000的概率在左半部分为0.5。（E,）（2）二项分布用于描述总体中某个事件发生的概率，决定二项分布也 需要两个参数：样本个体数（n）；任选一个个体遭遇事件的概率（p）。 （3）泊松分布适用于样本数量大，个体发生事故概率小的情况。通常用于计算稠密性问题。 2、精确度估计 对精确度的估计需要两个条件： 损失概率分布已知； 风险容差度能够明确。在明确上述两个条件后，解决精确度问题的依据 ：概率阈值所求的精确度。例5：结果位于预期值10以内所需要的单位数。样本中有n的单位，随机抽取一个单位，发生损失 的概率为p，若风险经理希望损失总量以95的概率落 在期望值上下浮动10的区域内，那么需要最小的n值 是多少？根据：概率阈值所求精确度，这里：95阈值期望值上下浮 动10，则 例6：假设每个单位损失的均值为500美元，标准差为 5000美元，风险经理愿意承担损失额超过最大可能损 失20的概率为0.5，需要多少单位数量才能保证这 一概率？分析：已知均值和标准差，该分布可以近似看作正态分布。根 据表4.6，超过MPC0.5对应的损失阈值为：期望值2.575倍 标准差，那么此处：99.5的阈值120期望值， 设需要n个单位，则例7：以一定的精确度估计受伤员工人数所需的员工数风险经理认为员工平均一年受伤次数是80，受伤次数服从 泊松分布。如果希望员工受伤次数超过期望值40的概率低于5 ，那么应有多少员工组成样本？分析：此处的等式为：95的阈值140的期望值。查表4.6，95 的阈值是期望值加上1.645倍的标准差。设需n个员工的样本，那么 （三）注意事项1、大多数的风险，尤其是独立风险都不服从正 态分布，但是风险费用占公司收入的比例服从正 态分布。2、假设概率分别服从某一理论分布时，应对假 设的合理性进行验证。3、公司风险的相互依赖性会影响公司赔偿费用 的支出。课后练习：习题5、6、7