有关矩形折叠的数学问题张 景 召西峡县基础教育教研室二0一0年元月二十八号有关矩形折叠的数学问题矩形性质独特,折叠起来形特各异, 趣味无穷,会产生丰富多彩的几何问 题,而这些问题形式新颖、结构独特 ，往往融入了丰富的数学知识和思 想，因此，越来越受到各省中考命 题者的青睐。纵观2008年、2009 年中考中所出现的有关“矩形的折叠 问题”，主要涉及以下几类情况：一、折叠后求角度例1.（2008年甘肃省白银市 ）如图，把矩形ABCD沿EF对折后 使两部分重合，若1=50,则 AEF=( )(A)1100 (B) 1150(C) 1200 (D) 1300根据矩形的性质ADBC,有AEF=EFD.再由折叠的特征可知:BFE=EFG=1/2(1800-1)=650,所以EFC=EFG+1=650+500=1150由此得AEF=1150 故选（B）例例1.1.（20082008年甘肃省白银市）如图，把矩形年甘肃省白银市）如图，把矩形ABCDABCD沿沿EFEF对折后使两部对折后使两部 分重合，若分重合，若1=50,1=50,则则AEF=( )AEF=( )(A)110 (A)1100 0 (B) 115(B) 1150 0 (C) 120 (C) 1200 0 (D) 130(D) 1300 0在矩形折叠问题中，往往利 用轴对称图形的对称性和平行 线的性质作联系找等角来计算 相关的度数。二、折叠后求长度例2.(2008年威海市)将矩形纸片ABCD按如图 1所示的方式折叠，得到图2所示的菱形 AECF.若AB=3,则BC的长为( )(A)1 (B) 2 (C) (D) 解析:根据折叠的特征可知:AC=2BC,设BC=X,则AC=2X.在RtABC中由勾股定理 得：X2+32=(2x)2解得BC的长为故选（D）点评：在矩形折叠中，求折线等 长度时，往往利用轴对称转化为相 等的线段，再借助勾股定理构造方 程来求解。三、折叠后求周长例3（2008年兰州市）如图1-4，把长为8cm的矩 形按虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯 形。剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长 是（ ）（A） （B） （C）22cm （D）18cm解析：从显示的图形中我们不难看出，所剪掉的三 角形的一条直角边长为3cm，由题意可知道所剪 掉的每个三角形的面积为3cm2，则它的另一直 角边为2cm，因此得到的等腰梯形其上底 AB=8cm。 腰 故该等腰三角形的周长为 本题选择（A）点评：本例题通过剪折纸片作计算， 检验学生对有关数学技能的理解和掌握程 度，使考生的自主性得以充分发挥。四、折叠后求面积 例4（2008年潍坊市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边 AD上的E点，折痕的一端G点在边BC上， BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时， 试求EFG的面积。解析：过点G作GHAD 则四边形ABGH是矩形. 所以GH=AB=8,AH=BG=10. 由图形的折叠可知, BFGEFG 所以,EG=BG=10, FEG=B=900 所以,EH=6,AE=4, AEF+HEG=900 因为AEF+AFE=900 所以HEG=AFE 又因为 EHG= A=900所以EFA GHE点评:在矩形的折叠中,由角之间的关系产生相似 图形,从而通过有关成比例线段来做计算,也是在矩 形折叠问题中常见的类型之一.同学们应予以关注.五、折叠后求直线解析式例5（2008年枣庄市）如图，在直角坐标系中放入一 个边长OC为9的矩形纸片ABCO，将纸片折后，点B 恰好落在x轴上，记为B/，折痕为CE，已知tanO B/ C=3/4.(1)求点B的坐标；（2）求折痕CE所在直线的 解析式。解析（1）在RtBB/ /OC中，9=b,4=15k+bb=9,K=-1/3点评：本题设计精致，追求创新意 ，将几何与函数在矩形的折叠中完 美结合，最大特色是知识入口较宽 ，涉及折叠的对称性、三角函数、 勾股定理及一次函数解析式的确定 等，这样的命题，切认识水平，体 现知识体系的整体性。六、折叠后判断图形形状例6（2008年湖北省十堰市）如图，把一张 矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在 店E处，BE与AD的交于点F。（1）求证ABF EDF；（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与边BC边 上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形 BMDF的形状，并说明理由。点评：本题以矩形的折叠为背景，让同学 们在操作和实践中观察、探究并解决问题.有利 于激发同学们潜在的智慧,让同学们体验创新的 快乐,并获得学习的成功感.七、折叠后探究其数量关系 例7（2008年江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠， 使点B落在边AD上的B/处，点A落在A/处。 （1）求证：B/E=BF；（2）设AE=a,AB=b,BF=c, 试猜想a、b、c之间的一种 关系，并给予证明。点评：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的 图形的轴对称性质来解决问题。由于折叠前后折 叠部分图形的形状、大小不变，因此，利用轴对 称性，可以转化挪威相等三线段、相等的角。2009年有关折叠的中考题选1（北京市）正方形纸片ABCD的边长为1，M、N 分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点 B的直线折叠，使点A落在MN上，落点记为A/ ，折痕交AD于点E。若M、N分别是AD、BC中点，则A/N=_;若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n（n 2,且n为整数)等分点，则A/N=_.(用含n的式子表示）2（吉林省）将一张矩形纸片折叠成如图所示 三形状，则ABC=_度3（吉林省）将宽为2cm长方形纸条折叠成如 图所示的形状，那么折痕PQ的长是 （ ）B4（河北省）如图，等边三角形ABC的 边长为1cm,D、F分别是AB、AC上的点， 将ADE沿直线DE折叠，点A落在A/处， 且点A/在ABC外部，则阴影部分图形的 周长为_cm.35(河南省）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3 ，AD=5。如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上 的A处，折痕为PQ。当点A在BC上移动时，折痕的端 点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD 边上移动，则点A在BC边上刻移动的最大距离为 _.26（山东省）如图所示，把一个长方形纸片沿 EF折叠后，点D、C分别落在 D、C的位置. 若EFB=65,则AED=_(A) 70(B) 65(C) 50(D) 25(C)7(山东省）将三角形纸片（ABC）按如图所 示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B 。折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以 点B、F、C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是_8（江苏省）（1）观察与发现：小明将三角形纸片 ABCD（AB AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落 在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图1）；再次折 叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展 平纸片得到AEF(如图2),小明认为AEF是等腰三角 形,你同意吗?请说明理由.(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点 A落在BC边上的点F处,折痕为EF(如图3);再沿着过点E的直 线折叠,使点D落在BE上的点D处,折痕为EG(如图4);再展平 纸片(如图5),求图5中的大小。解析：（1）同一。如图，设AD与EF交于点G。由折 叠知，AD平分BAC，所以BAD=CAD。又由折叠知，AGE=AGF=90 ， 所以AEF=AFE， 所以AE=AF， 即AEF为等腰三角形。 （2）由折叠知，四边形ABFE是正方形， AEB=45， 所以，BED=135, 又由折叠知, BEG=DEG, 所以DEG=67.5.从而有=9067.5=22.5.9（海南省）如图，将矩形ABCD沿EF折叠后，点C 、D分别落在C/、D/处，若AFE=45，则 C/EF=_度.6510（海南省）如图1（上右图），在ABC中， ABC=90， CAB=30， ABD是等边三角形 ，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F。（1）求证： AEF BEC ；四边形BCFD是平 行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK 为折痕，求sinACH的值。解析（1）略。11（哈尔滨市）如图，梯形ABCD中，AD/BC，DCBC，将梯形沿对角 线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A/处，若A/ BC=200，则A/ BC 的度数为 （ ）A.150 B.200 C.250 D.300C