2 0 0 9年第 9期 中学数 学研究 1 3 高考中最值问题的常见题型与求解策略 广州市第七 中学 ( 5 1 0 0 8 0 ) 陈世明 最值问题一直是高中数学中的重点内容之一， 理所当然地成为每年高考命题的热点 纵观历年来 的高考试题 ， 最值问题 的常见题型主要 有： 三角 函 数与一般函数的最值 、 函数应用问题的最值 、 立体 几何中的最值 、 解析几何中的最值等 高考 中最值 问题既有选择题或填空题 ， 又有解答题 ， 设问灵活， 综合性强 ， 具有一定的难度 ， 在考查“ 三基” 的同时， 着重考查分析问题和解决问题的能力 题型一 ： 三角函数的最值 求解策略(I) ： 将三角函数化成一个角的一个 三角函数“ Y=A s i n ( + )+ 或 Y=A c o s ( + )+ 求最值 例 1 ( 2 0 0 7年 高考天津 卷 ( 理 ) ) 已知 函数 )=2 e o s x ( s i n xc o s x )+1 ， R (I) 求 函数_厂 ( )的最小正周期 ； ( ) 求 函 数 ) 在 区 问 詈 ， 】 上 的 最 小 值 和最大值 解析： (I) _厂 ( )=2 c o s x ( s i n xC O S X )+1= s in 2 c 。 s2 = in ( 2 一 手 ) 因 此 ， 函 数 ) 的 最小正周期为 7 r ( 1I ) 由 ( I ) 知 厂 ( ) = in ( 2 一 77“ ) ， 因 为 詈 ， ， 所 以 o 2 x 一 手 ，从 而 由 正 弦 函 数 的 图 像 可 知 ： 一 s in ( 2 一 77“ ) l ， 所 以一 1 in ( 2 一 77“ ) ， 即一 1 厂 ( ) ， 故 函 数 f ( x ) 在 区 间 詈 ， 上 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为一 1 求解策略( II ) ： 将三角函数化成“ 二次函数” 求最值 例 2 ( 2 0 0 8年高考四川卷( 理) ) 求函数 y=7 4 s i n x e o s x+4 c o s 一4 c o s 的最大值与最小值 解析 ： y=74 s i n c o s +4 c 0 s 一4 c o s =7 2 s i n 2 x +4 c o s ( 1 一 C O S ) = 7 2 s i n 2 x + 4 c o s 2 x s i n =72 s i n 2 +s i n 。 2 = ( 1一s i n 2 x ) + 6 令 s i n 2 x=“ ， 贝 0 ) ， =( 1一M ) +6=( u一1 ) + 6 ， 一1 ， 1 ， 由于函数 Y：( 一1 ) + 6 在 一1 ， 1 上单调递减， 所以当 u=一1 时， Y 有最大值为Y =( 一11 ) +6=1 0 ； 当 u：1时， ) ， 有最小值为 Y =( 11 ) +6=6 故当 s i n 2 x=一1 时y取得 最大值 l 0 ， 当 s i n 2 x=1时 Y 取得最小值 6 点评 ： 三角函数的最值问题在高考 中一般为中 档题 ， 并且常可转化为一个角的一个三角函数或二 次函数在闭区间上的最值问题来求解 练习 1 ( 2 0 0 9年高 考重 庆卷 ( 理 ) ) 设 函数 f ( x ) ： s in ( 一 詈 ) - 2 c 0 s 2 + 1 (I)求 )的最小正周期 ( I I ) 若 函数 Y：g ( ) 与Y=-厂 ( X ) 的图像关于 直 线 x = l 对 称 ，求 当 【 0 ，睾 】 时 y = g ( ) 的 最 大值 题型二 ： 一般 函数的最值 求解策略： 常用“ 均值不等式 ”或“ 导数法”求 最值 例 3 ( 2 0 0 7年高考湖北卷( 理) ) 已知定义在 正实数集 上 的函数 -厂 ( ) = 1 2 x +2 a x ， g ( ) = 3 n l n +b ， 其中n0 设两曲线 Y= L厂 ( ) ， Y=g ( x ) 有公共点， 且在该点处的切线相同 (I )用 n表示 b ， 并求 6的最大值 ； ( I I )求证 )g ( ) ( 0 ) 解析 ： (I) 设 Y= - 厂 ( ) 与Y=g ( ) ( 0 ) 在 公共点 ( 。 ， Y 。 )处 的切线相同 厂( )= +2 n ， g ( )=等， 由 题意f ( x 。 )=g ( 。 ) ( 。 )= f 1 2 x j +2 a x o=3 a l n x o +6 ， g 0 ) 即 3 a 2 由 0 + 2 a 【 一 2 2 = 得 ： 。=n ， 或 。=一3 a ( 舍去 ) 即有 6= 0 1 2 a 。+ 2 a 一3 a 2 l n 口 = 5 2 一 3 a 2 l n n令 h ( t )= 1 4 中学数学研 究 2 0 0 9年第 9期 5 2 t 一 3 t l n t ( t0 ) ， 则 h ( t )=2 t ( 1 3 1 n t ) 于是 当 t ( 13 l n t )0 ， 即 00 ； 当 t ( 13 1 n t )e T时， h ( t )0 ) ， 贝 U F ( ) = +2 0 3 a -= ( 0 ) 故 F( ) 在( 0， n ) 上为减 函数， 在( 口， +)上为增函数 ， 于是 函数 F( )在 ( 0 ， +。 。 )上的最小值是 F ( n )=F ( )=， ( )一 g ( )=0 故当 0时 ， 有 )一g ( )0， 即当 0时 )g ( ) 点评： 解决一般 函数 的最值问题的通用方法是 导数法 ， 应用导数这一工具可使解题过程程序化 另外 ， 证 明函数不等式 ， 一般也是通过构造 函数转 化为求函数的最值问题来解决 练 习 2 ( 1 ) ( 2 0 0 8年高考重庆卷 ( 理 ) ) 已知 函数Y= J1一 + +3 的最大值为 ， 最小值为 m， 则 的值为( ) A ； B 丢 ； c ； D 譬 ( 2 ) ( 2 0 0 9年高考全国卷(I)理) 若 7 -2时， 点 尸( ， 0 ) 存在 无穷多条“ 相关弦” ， 给定 2 (I)证明： 点 P( 。 ， 0 )的所有“ 相关弦”的中 点的横坐标相同； ( )试问： 点 P( ， 0 )的“ 相关弦”的弦长中 是否存在最大值? 若存在 ， 求其最大值 ( 用 。 表示 ) ； 若不存在 ， 请说明理 由 解析： (I) 设 A B为点 P ( ， 0 ) 的任意一条“ 相 关弦” ， 且点 A、 的坐标分别 是 a( x ， Y 。 ) 、 8( x ， Y 2 ) ( 。 2 ) ， 则Y =4 x 。 ， Y ； ：4 x ， 两式相减得( Y +Y 2 ) ( Y l Y 2 )=4 ( x l 2 ) ， 因为 1 X 2 ， 所以Y l +Y 0 又设直线 A B的斜率是 k ， 弦A B的中点是 ( ， y ) ， 则k ： 二 丝： ： 一2 ， 从 而 A 1 一 X2 1十 Y2 Ym 的垂直平分线 Z 的方程为YY =一J m ( ) 又 点P( x 。 ， 0 ) 在直线 f 上， 所以 一 Y =一 J m ( 。 一 ) 而 Y 0， 于是 = 。一2 故点 p ( x 。 ， 0 )的所有 “ 相关弦”的中点的横坐标都是 一2 ； ( )由(I)知 ， 弦 A B所在直线的方程是 Y一 1 6 中学数学研究 2 0 0 9年第 9期 浅析二次不等式中参数的取值范围 江苏省金湖县教师进修学校 ( 2 1 1 6 0 0 ) 徐加生 含参数的一元二次不等式 中求范 围问题是近 年来高考和其他选拔性考试 的常见题型 ， 它综合考 查了二次函数 、 二次方程、 二次不等式的主要内容 ， 并且与二次不等式恒成立及二次不等式有解联系 密切 ， 本文举例介绍几种 常见问题及求解方法 ， 供 参考 一 、二次不等式恒成立中参数的取值范围 解决二次不等式恒成立 问题的基本方法是转 化为二次函数的最值问题 ， 一般地 ， “ 若厂 ( )0恒 成立 ) 有最小值， 则 ) i 0 成立； 若 ) 3， 贝 0 2 ( 0 3 )( 0， 4 x 。 一8 ) ， 所 以当 t =2 ( 。一3 ) ， 即y 2 = 2 ( 。一3 )时 ， f 有最大值 2 ( x 。一1 ) ； 若 03 时， 点p ( x 。 ， 0 ) 的“ 相关弦”的 弦长存在最大值 ， 且最大值为 2 ( x 。一1 ) ； 当0 0对于 R恒成立 ， 求实数 。的取值范围 解析： ( 1 ) 若 口 一1=0 ， 得 0=1 ， 当 n：1 时， 则 2 +10恒成立 ， 不合 ； 当。=一1 时 ， 则 1 0恒成立 ， 符合题意 ( 2 )若 o 一10 ， 构造二次函 数 )=( 口 一1 ) +( 0+1 ) +1 ， 已知不等式对 R恒成立 ， 即I 厂 ( )0恒成立 ， N-次函数的图 象开 口向上 ， 且最小值大于零 ， 所以 一 一 - - 。 - ”+一+-+ +一+-+”+一+ 求解 ， 简单 自然 ， 事半功倍 练 习 5 ( 2 0 0 9年 高 考 全 国卷 (I)理 ) 如 图 ， 已知抛物线 E： Y = 与圆 ：( 一4 ) +Y =r ( r 0 )相交 于 A、 日、 C、 D 四个 点 1V (I)求 r 得取值范围； ( I I )当四边形 A B C D的面积最大时， 求对角线 A C、 B D的交点 P坐标 回顾历年的高考试题 ， 三角 函数的最值最为常 见 ， 出现的频率也最高 ， 是值得我们最为重视的一类 题 立体几何和解析几何中的最值问题 ， 体 现了“ 在 学科交叉处设计试题”的高考命题思想 ， 因而在历 年 的高考中时有出现 ， 不能小视 而函数应用问题的 最值 ， 由于“ 导数工具”的介入及对 “ 重要不等式” 的熟练应用 ， 使得其解法既程序化又灵活 、 优美 ， 这 类问题可能成为高考命题新的 “ 热点” 练习题答案 ： 1 (I) T=8 ； (I I ) g = 3 2 2 ( 1 ) C； ( 2 )一8 3 (I) ：2 5 6 m+m +2 m一2 5 6 ； ( 1 I ) 9 4 O 0 l=2 m， =1 6 3 m 5 ( I ) r ( ，4 ) ； ( ) P ( 7 0 )