一阶微分方程 习题课基本概念一阶方程类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程7.伯努利方程可降阶方程线性方程 解的结构定理1;定理2 定理3;定理4欧拉方程二阶常系数线性 方程解的结构特征方程的根 及其对应项f(x)的形式及其 特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容1、五种标准类型的一阶微分方程的解法(1) 可分离变量的微分方程解法分离变量法(2) 齐次型方程解法作变量代换一、主要内容可化为齐次的方程解法化为齐次方程（其中h和k是待定的常数）(3) 一阶线性微分方程齐次非齐次.解法齐次方程的通解为（使用分离变量法）非齐次微分方程的通解为（常数变易法）(4) 伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法 需经过变量代换化为线性微分方程(5) 全微分方程形如其中注意：解法应用曲线积分与路径无关.通解为 用直接凑全微分的方法.可化为全微分方程形如公式法:观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子2。 各类方程的内在联系三种基本类型 变量可分离一阶线性全微分方程其余类型的方程可借助于变量代换或积 分因子化成基本类型三种基本类型代表三种典型解法分离变量法常数变易法全微分法变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程 非变量可分离幂级数解法降 阶作 变 换作变换积分因子3、一阶方程解题程序分离变量Y解方程N Y解方程N积分因子YN齐次型 一阶线性 Bernoulli二、典型例题例1 求一微分方程使其通解为解 由求导得再求导再求导例2解原方程可化为代入原方程得分离变量两边积分所求通解为例3解原式可化为伯努利方程原式变为一阶线性非齐方程对应齐方通解为利用常数变易法代入非齐方程得原方程的通解为例4解方程为全微分方程.(1) 利用原函数法求解:故方程的通解为(2) 利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为(3) 利用曲线积分求解:故方程的通解为例5解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为故方程的通解为例6 解方程分析 本题看起来简单 但具体求解时发现不是变量可分离也不是齐次型 不是一阶线性也不是全微分方程怎么办？必须对方程进行变形解一 分项组合通解为解二 变量代换令一阶非齐次线 性微分方程相应齐方程令解三 由存在关于 x 的积分因子为全微分方程通解为积分因子法例7 设曲线积分在右半平面内与路径无关其中 f (x) 可导且f(1)=1 求f (x) 解 由曲线积分与路径无关的条件知即一阶线性微分方程代入f(1)=1 得故例8 解方程并求此曲线 y = y (x) 和直线 x = 0 ,x = 1 三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体 的体积解特解为高阶微分方程 习题课一、主要内容高阶方程可降阶方程线性方程解的结构二阶常系数线性 方程解的结构特征根法特征方程的根 及其对应项待定系数法f(x)的形式及其 特解形式微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程 非变量可分离幂级数解法降 阶作 变 换作变换积分因子1、可降阶的高阶微分方程的解法型解法接连积分n次，得通解型特点解法代入原方程, 得型特点解法代入原方程, 得2、线性微分方程解的结构（1） 二阶齐次方程解的结构:（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解3、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为推广： 阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法 待定系数法.二、典型例题例1解代入方程，得故方程的通解为例2解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为由解得所以原方程满足初始条件的特解为例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为求其通解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是 相应齐方程的解故是齐方程的两个解齐通解且线性无关非齐通解例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得即这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解例5解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为由解得由即故原方程的通解为例6解（） 由题设可得：解此方程组，得（） 原方程为由解的结构定理得方程的通解为测 验 题测验题答案