2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角一般地，实数一般地，实数 与向量与向量a a 的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作 a a，它的它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1) |(1) | a a|=|=| | | | |a a| |(2) (2) 当当00时时, , a a 的方向与的方向与a a方向相同；方向相同；当当00时时, , a a 的方向与的方向与a a方向相反；方向相反； 特别地，当特别地，当=0 0或或a=0a=0时时, , aa=0=0设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：，则有： ( ( a a)=()=() ) a a ( (+) ) a=a= a+a+ a a ( (a+ba+b)=)= a+a+ b b已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180） 叫做向量a与b的夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OAB B当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）FS力F所做的功W可用下式计算W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“ 数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为，我们把数量|a| |b|cos叫做 a与b的数量积（或内积），记作abab=|a| |b| cos规定:零向量与任一向量的数量积为0。|a| cos（|b| cos）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影 。注意：向量 的数量积是 一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当0 90时ab为正；当90 180时ab为负。当 =90时ab为零。设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABabB1解：ab = |a| |b|cos= 54cos120=54（-1/2）= 10例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 =120，求ab。例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2OAB |b|cosabB1等于的长度与的乘积。练习：1若a =0，则对任一向量b ，有a b=02若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0 3若a 0，a b =0，则b=0 4若a b=0，则a b中至少有一个为0 5若a0，a b= b c，则a=c 6若a b = a c ,则bc,当且仅当 a=0 时成立 7对任意向量 a 有 二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：则(a + b) c = ON |c|= (OM + MN) |c|= OM|c| + MN|c|= ac + bc . ONMa+bbac向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3)例 3：求证： （1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例 3：求证： （1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaab bba2b2.例4、的夹角为解:作业：3、用向量方法证明：直径所对的圆周 角为直角。ABCO如图所示，已知如图所示，已知 OO，ABAB为直径，为直径，C C 为为 OO上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90 分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。解：解：设 则 ， 由此可得：即 ，ACB=90