机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 定积分的概念一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理四、定积分的几何意义七、小结 思考题六、定积分的性质五、定积分的近似计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxyo【实例1】（求曲边梯形的面积）一、问题的提出【问题】如何求由任意封闭曲线所 围成的平面图形的面积。【方法】转化为求曲边梯形的面积xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲边梯形如图所示，分割取近似机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 【实例2】（求变速直线运动的路程）【思路】把整段时间分割成若干小段，每小段 上速度看作不变，求出各小段的路程再相加， 便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 分割部分路程值某时刻的速度(3) 求和(4) 取极限路程的精确值(2) 取近似机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的定义【定义】机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和机动 目录 上页 下页 返回 结束 【注意】（因为定积分是一个数值）因此若已知极限I存在，则可选取特殊的分法和特殊 的取法，仍有相同的结果。（这为计算带来方便） (3)定义中，令0，必然导致n。但反之不然：(4)当函数f(x)在区间a ,b上的定积分存在时， 称f (x)在区间 a ,b上可积. (5) f (x)在a ,b上有界是f (x)在a ,b上可积的必要条件：即若只有n，不能保证每个小区间的长都趋于0。机动 目录 上页 下页 返回 结束 当f (x)在a ,b上有有限个第一类间断点时，则f (x)在a ,b上可积【定理1】【定理2】三、可积的充分条件（定积分存在定理）可 积 函 数 类【推论】机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义机动 目录 上页 下页 返回 结束 【几何意义】机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例1 】利用定义计算定积分【解】机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例2】. 用定积分表示下列极限:解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、定积分的近似计算 根据定积分定义可得如下近似计算方法: 将 a , b 分成 n 等份: 1. 左矩形公式2. 右矩形公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 梯形公式4. 抛物线法公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 抛物线法公式的推导上作抛物线(如图)则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 用梯形公式和抛物线法公式解:计算yi(见右表)的近似值.ixiyi00.04.00000 10.13.96040 20.23.84615 30.33.66972 40.43.44828 50.53.20000 60.62.94118 70.72.68456 80.82.43902 90.92.20994 101.02.00000(取 n = 10, 计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为计算定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特 别说明则不考虑积分上下限的大小对定积分的【补充规定】【说明】六、定积分的性质【证】【性质1】 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（逐项积分）机动 目录 上页 下页 返回 结束 【证】【性质2】【补充】不论a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.例若【性质3】则（积分区间的可加性）【推广】首尾相接机动 目录 上页 下页 返回 结束 【证】【性质4】 【性质5】（不等式性质）比较性质【几何意义明显】保号性【解】令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 【性质5的推论】【证】推论1【证】推论2【说明】机动 目录 上页 下页 返回 结束 【证】（此性质可用于估计积分值的大致范围）【性质6】（估值性质）【解】复习闭区间上的连续 函数求最值的一般方法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 【解】机动 目录 上页 下页 返回 结束 【证】由闭区间上连续函数的介值定理的推论知：【性质7】（定积分中值定理）积分中值公式使即数值机动 目录 上页 下页 返回 结束 【积分中值公式的几何解释】【注意】1.积分中值定理的微分中值定理的 2.显然，积分中值公式不论ab还是ab都是成立的.3.从几何角度易看出，表示连续曲线 在 上的平均高度.为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f()的一个矩形的面积。亦即函数 在 上的平均值.它是有限个数的平均值概念的拓广机动 目录 上页 下页 返回 结束 【解】 由积分中值定理知有使【分析】去掉积分号才容易求极限，则想到用积分中值定理等价无穷小代 换最简单机动 目录 上页 下页 返回 结束 七、小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似，以直（不变）代曲（变）取极限取近似以直代曲机动 目录 上页 下页 返回 结束 【思考题】1.将和式极限：表示成定积分.【思考题解答】原式法机动 目录 上页 下页 返回 结束 法原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系