第九节 二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式三、极值充分条件的证明一、问题的提出一、问题的提出一元函数的泰勒公式问题能否用多个变量的多项式来近似表 达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差 的大小.二、二元函数的泰勒公式其中记号表示表示一般地,记号证引入函数显然由 的定义及多元复合函数的求导法则, 可得利用一元函数的麦克劳林公式，得),()0(00yxf=F),()1(00kyhxf+=F将,及上面求得的直到阶导数在的值,以及在)(tFn0=t)()1(tn+Fq=t的值代入上式.即得其中证毕其中当0=n时,公式)1(成为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.例 1解其中三、极值充分条件的证明利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2证依二元函数的泰勒公式，)1(设02-BAC,即因),(yxf的二阶偏导数在)(01PU内连续,由不等式)7(可知,存在点0P的邻域)()(0102PUPU蘿,使得对任一)(),(0200PUkyhx蝳+有注:将),(yxfxx在点),(00kyhxqq+处的值记为xxf,其他类似.)2( 设02- BAC,即先假定,0),(),(0000=yxfyxfyyxx则.0),(00箎yxfxy分别令hk=及hk-=,则由)6(式可得及其中.1,021qq再证),(),(0000yxfyxfyyxx与不同时为零的情形.不妨.0),(00箎yxfxy先取0=k,于是由)6(式得当h充分接近零时, fD与),(00yxfxx同号.但如果取,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy=-=其中s是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当s充分小时, fD与),(00yxfxx异号.),(00yxfD如此证明了:在点的任意邻近, 可取不同符号的值,因此),(00yxf不是极值.考察函数及容易验证,这两个函数都以)0 ,0(为驻点,且在点)0 ,0(处都满足02=-BAC.但),(yxf在点)0 ,0(处有极小值,而),(yxg在点)0 ,0(处却没有极值.