等价关系与矩阵标准形福建师范大学数学与计算机科学学院 陈清华 Email：cqhmathfjnu.edu.cn 网 址：http:/math.fjnu.edu.cn2一、等价关系与分类一、等价关系与分类1. （数学上）分类的严格定义（数学上）分类的严格定义2. 二元关系：的子集称为、间 的二元关系。特别地，时，称为 上的一个关系或二元关系。二元关系：的子集称为、间 的二元关系。特别地，时，称为 上的一个关系或二元关系。3一、等价关系与分类一、等价关系与分类. 二元关系：的子集称为、间 的二元关系。特别地，时，称为 上的一个关系或二元关系。二元关系：的子集称为、间 的二元关系。特别地，时，称为 上的一个关系或二元关系。例 映射（特别地函数）是二元关系，各种 运算是二元关系（称为二元运算）。例 映射（特别地函数）是二元关系，各种 运算是二元关系（称为二元运算）。进一步， 进一步，n元关系（元关系（n元运算）元运算）4一、等价关系与分类一、等价关系与分类.偏序关系：偏序关系：满足（）反身性 满足（）反身性;（）传递性（）传递性;（） 反对称性。（） 反对称性。 .偏序集偏序集 .等价关系：满足（）反身性；（）传 递性；（）对称性。等价关系：满足（）反身性；（）传 递性；（）对称性。5一、等价关系与分类一、等价关系与分类.在偏序集中，可以引入极大（小）元，最 大（小）元，上（下）界，最大下界，最 小上界等概念。在偏序集中，可以引入极大（小）元，最 大（小）元，上（下）界，最大下界，最 小上界等概念。.orn引理（等价于选择公理）：设是 一个非空偏序集，它的每一个非空有序子 集都有上界，则含有极大元引理（等价于选择公理）：设是 一个非空偏序集，它的每一个非空有序子 集都有上界，则含有极大元6一、等价关系与分类一、等价关系与分类.等价关系与分类一一相互决定。等价关系与分类一一相互决定。.等价分类的完全不变量及重要作用。等价分类的完全不变量及重要作用。7一、等价关系与分类一、等价关系与分类典型范例典型范例例数域上的全体有限维线性空间构成的 集合中，线性空间的同构是一个等价关系例数域上的全体有限维线性空间构成的 集合中，线性空间的同构是一个等价关系例实数域上的全体有限维欧氏空间构成 的集合中，欧氏空间同构是一个等价关系例实数域上的全体有限维欧氏空间构成 的集合中，欧氏空间同构是一个等价关系8一、等价关系与分类一、等价关系与分类典型范例典型范例例 由线性空间的向量组组成的集合中， 向量组的等价是等价关系例 由线性空间的向量组组成的集合中， 向量组的等价是等价关系例 数域的所有例 数域的所有n元线性方程组中，方程 组的同解是一个等价关系元线性方程组中，方程 组的同解是一个等价关系9二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型矩阵的相抵关系 （）定义 （）全系不变量：?秩（）秩（） （）等价类：矩阵的相抵关系 （）定义 （）全系不变量：?秩（）秩（） （）等价类：minm,n+1 （）等价类的代表元 （）等价类的代表元 （0r minm,n ）, 即相抵关系的标准型 （）应用举例即相抵关系的标准型 （）应用举例 000rE10矩阵的相抵关系矩阵的相抵关系 （）应用举例（）应用举例例 设例 设AF mn, 且且rank()=r. 求证：求证：A=A1+A2+r，这里这里rank(i)=1,1ir.二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型11矩阵的相抵关系矩阵的相抵关系 （）应用举例（）应用举例例例6 设 设AF nn, 求证：求证：A=BC=CD，这里这里B2=B,D2=D,C是可逆阵是可逆阵二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型12矩阵的相抵关系矩阵的相抵关系 （）应用举例（）应用举例例 设例 设AF mn, rank()=r?存在矩阵?存在矩阵 mr, Q F rn, rank(P)= rank(Q)=r，使得，使得 A=PQ二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型13方阵的相似关系方阵的相似关系二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型143Rnn的正交相似关系的正交相似关系二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型153对称阵的合同关系对称阵的合同关系二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型二、矩阵理论中的几种等价关系及标准型16谢谢大家！谢谢大家！