第一章 预备知识 第一节 线性空间定义、性质及例子基与维数基变换与坐标变换子空间和维数定理一、线性空间的定义、性质及例子定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数 域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数 运算，叫做加法，即对于任意两个元素 与 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为 与 的 和，记为 ；在数域F 与集合V 的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法，对于F中任一个数k 与V 中任一元素 ，在V 中都有惟一的一个元素 与 它们对应，称为k与 的数量乘积，记为 若加 法与数量乘法满足下述八条规则，那么V 称为数域F上 的线性空间加法满足下面四条规则：数量乘法满足下面两条规则：数量乘法与加法满足下面两条规则：当F 为实数域时，V 称为实空间；当F 为复数域 时，V 称为复空间(3) 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义 的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质 的任一条，则不能构成线性空间 说明(2) 凡满足八条规律的加法及数乘运算，称为线 性运算(1) 线性空间不能离开某一数域来定义实际 上，对于不同数域，同一个集合构成的线性空间会 不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为 线性空间(1) 零元素是唯一的线性空间的性质(2) 负元素是唯一的(4) 如果 ，则 或 . 设 是线性空间V 中的任一组向量， 是F 中任一组数，也是V中的向量，称y 是向量组 的一个线性组合， 叫做y 的一个线性表出定义2例F=C，又设对于通常的加法和数乘运算，V 构成线性空间，是一个复线性空间，称为n 维复坐标向量空间，记作 若将上例中的 C 全换成 R ，则可得到 n 维实坐 标向量空间，记作 和 是最常用的两个线性空间同样， 为一个实线性空间例2F=C，又设对于通常的矩阵加法和数乘运算，V 构成一个复线性空间，一般记为 为一个实线性空间对于通常的多项式的加法和数乘运算，例3 次数不超过n 的多项式的全体记作 ，即注意 n 次多项式的全体对于通常的多项式的加法和数乘运算不能构成线性 空间例4F=C，定义与 中相同的运算， V 构成一个复线性空间，叫做矩阵的零空间（或核），也叫做方程 的解空间，记为N(A) 例5F=C ，定义与 中相同的运算， V 构成一个复线性空间，叫做矩阵的列空间，或A的值域，记为R(A) 例 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为对上述运算 构成实数域R上的线性空间定义二、基与维数向量组线性无关等价于 当且仅当 时成立定理1定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意 有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表 出，则称S 是V 的基定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n 次数不超过n 的多项式全体构成n +1维线性空间是 n维空间， 是 mn维空间， 定理3 n 维线性空间中任何n 个线性无关的向量都 是线性空间的一组基（1）只含有零向量的线性空间称为0维线性空间， 因此它没有基说明（4）若向量组 是线性空间 的一个 基，则 可表示为（2）若把线性空间V 看作向量组，那末V 的基就 是向量组的最大无关组，维数就是向量组的秩.（3）线性空间的基不惟一.例7注意 线性空间V 的任一元素在不同的基下所对应 的坐标一般不同，但一个元素在一组基下对应的坐 标是唯一的例8 如果将复数集合C 看作数域C 上的线性空间，那么数1就是它的一组基，所以它是一维线性空间；如果将复数集合C 看作实数域上的线性空间，那么数1和i 就是它的一组基，这时空间是二维的空间的维数与所考虑的数域有很大的关系三、基变换与坐标变换问题：同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的基变换公式过渡矩阵 （可逆）由基向量的线性无关性，得坐标变换公式解题思路 先求基变换公式，再求坐标变换公式解 设所以定义5 设V 是域F上的线性空间，W是V 的一个非空子集，若W 中的向量对于V 中所定义的加法和数乘运算也构成F上的一个线性空间，则称W为V的子空间四、子空间和维数定理定理4 设V 是域F上的线性空间，W是V 的一个非空子集，则W 是V 的一个子空间的充分必要条件为W对于V中的线性运算封闭1、子空间定理5 S、U是V的两个子空间定义6定理6（和空间）（交空间）2、维数定理