Fourier分析基础,Fourier级数，Fourier变换Poisson求和公式,Fourier级数,Fourier级数 是空间 的一个完全正交序列。令 则对每个 有 而 其中Bessel 不等式 空间 Fourier变换Fourier逆变换系数与Fourier变换关系,中的Fourier变换,Fourier变换 定义为Fourier逆变换 定义 为例 Gauss函数族 的Fourier变换,Fourier变换表示,f 的Fourier变换一般来说是实变量的复函数。用 表 的实部，用 表 的虚部，即 则 有极坐标表示 其中振幅谱 而 幅角谱,几种算子及性质,位移算子 调制算子 伸缩算子性质,Fourier变换基本性质,如果 那么下述结果成主 (1) (2) 及 (3) (4) 和 (5),Fourier变换基本性质(续),(6)连续性 是R 上的一致连续函数。(7)卷积的Fourier变换(8) 并且(9)导数的Fourier变换 如果f 的导数还存在，且 ，则,Fourier变换的导数与逆变换,Fourier变换的导数 如果 使对于固定的n ， 是可积的，那么 的n 阶导数存在，并且有逆Fourier变换 如果 并且使它的Fourier变换 ，那么，对每个f 的连续点,可 和 核,如果 ，不一定能推出 ，所以 积分 不一定存在。但可引入一个函数 ，使 称为R上的可和核(或收敛因子)。,可 和 核 (续),可和核是连续函数族 ，它们具有下述性质: (1) 对所有 有 (2) 对所有 对常数M有 (3) 对所有,几种可和核,没F(t) 是R上的连续可积函数 使 则可令Fejer核 Gauss核,中的Fourier变换,定理A 对于每个 ，存在 使如果 ，那么(2)(3)如还有 ，则有Parseval恒等式特到地,中Fourier变换(续),定理B Fourier变换F 是 上的一个1-1映上的映射。换句话说，对于每个 ,有仅有一个 ，使 即 是g 的Fourier逆变换。,函数周期化,C，sint，cont 都不属于 与 。对于 ，如果由f 导出一个周期函数，就可称把f 周期化。如果 ，则级数 对于所有属于(0,2)的t 绝对收敛，记和为 ，则 且 对所有 成立。进而,Poisson求和公式,如果 表示 展成的Fourier级数，则 Fourier系数为在周期化中，如果 的Fourier级数收敛于 ，那么，对于特别当t=0 时，得到,Poisson求和公式更一般情形,记g(t)=f(at) 则可得到特别地，t=0时选a=1，得(还可选 ),本 节 完,