第三节概率的公理化定义在学习几何和代数时，我们已经知道 公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公 理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一 步的内容.即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦.概率的公理化定义公理2 P()=1 (2) 公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有(3) 这里事件个数可以是有限或无限的 .公理1 0 P(A) 1 (1)设E是随机试验，是它的样本空间，对 于中的每一个事件A，赋予一个实数，记 为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理:公理2 P()=1 (2)公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有(3) 这里事件个数可以是有限或无限的.公理 1 0 P(A) 1 (1)公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；公理2说明，必然事件的概率为1；公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的 事件序列，这些事件至少有一个发生的概 率正好等于它们各自概率之和.由概率的三条公理，我们可以推导 出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质.在说明这些性质时，为了便于理 解，我们常常借助于文氏图.文氏图设边长为1个单位 的正方形的 面积表示样本空间 S其中封闭曲线 围成的一切点 的集合表示事件A把图形的 面积理解 为相应事 件的概率 性质1 即不可能事件的概率为0 . 由 再利用公理2和公理3即得 .此为互不相容事件概率的加法公式。特别地，若A和B互不相容,则有性质2（有限可加性）若事件A1, A2 , An 两两互不相容，则有由公理3可得。例1 设一批同类产品中有50件，其中5件次 品。现从中任取3件，求其中至少有一件次 品的概率为多少？因为1=P(S)=P(A)+P( )性质3 对任一事件A ，有 (4)此性质在概率的计算上很有用，如果 正面计算事件A的概率不容易，而计算其 对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A).例2 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次 “6”点的概率是多少？ 令 事件A=至少出一次“6”点A发生出1次“6”点出2次“6”点出3次“6”点出4次“6”点直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的 对立事件=4次抛掷中都未出“6”点 的概率.于是 =0.518因此= =0.482由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果,而导致事件 =4次抛掷中都未出“6”点 的结果数有 =625种 例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.为求P(A), 先求P( )解：令 A=至少有两人同生日= r 个人的生日都不同则用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了22个球迷 ，请他们分别写下自己的生日，结果 竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率 为0.476.表 3.1人数 至少有两人同生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994 所有这些概率都是在假定 一个人的生日在 365天的任 何一天是等可能的前提下计 算出来的. 实际上,这个假定 并不完全成立，有关的实际 概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至 少有两人同生日是有利的.移项得第一式,便得第二式 .再由由可加性性质4 设、B是两个事件，若 , 则有 又因再由性质 4即得.性质5 对任意两个事件A、B，有 三个事件和的概率为 推广到多个事件 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)- P(AC) + P(ABC)n个事件和的概率为 它给出了概率所必须满足的最基本的 性质，为建立严格的概率理论提供了一个 坚实的基础.下面，我们再重点介绍加法公式及 其应用.这一讲，我们介绍了概率的公理化定义由概率所必须满足的三条公理，我们 推导出概率的其它几条重要性质. 它们在 计算概率时很有用，尤其是加法公式.设Ai =第i封信装入第i个信封 i =1,2,3A=没有一封信装对地址某人将三封写好的信随机装入三个写 好地址的信封中，问没有一封信装对地 址的概率是多少？直接计算P(A)不易，我们先来计算例5配对问题=至少有一封信装对地址则代入计算 的公式中应用加法公式于是推广到n封信,用类似的方法可得: 把n 封信随机地装入n个写好地 址的信封中, 没有一封信配对的 概率为:我们介绍了加法公式及其应用:事件互斥时的加法公式事件相容时的加法公式它们在计算概率中很有用，要牢固掌握.