2 0 0 9年第 4期 物理通报 物理问题研究 探讨无固定悬挂点单摆的周期 韩 娟 郑修林 李春梅 ( 重庆师范大学物理与信息技术学院 重庆4 0 0 0 4 7) 简谐振动在高中物理竞赛中既是重点又是难 点 单摆的 自由微振动是简谐振动 ， 无固定悬挂点单 摆其纵振动也是谐振动 ( 下面讨论过程即作出证 明) ， 但求解其周期对 中学生 而言难度很大 本文运 用多种方法对其进行探讨 ， 并 比较 了各种解法 ， 对 中 学物理竞赛辅导有一定的启示 1 无固定悬挂点单摆模型 如图 1 ， 光滑的水平杆上 ， 有一小 圆环 O， 质量 为 ， 圆环上悬挂一单摆 ， 单摆 的摆长为 f ， 小球的 质量为 m， 摆线长远大于小球及 圆环的线度 初始时 单摆与竖直方向成 0 ( 05 o ) 角度， 求单摆运动的周 期 D 2 小球相对于圆环的周期 2 1 根 据T = 2 7c m 求 解 由于单摆运动的 公式 =2 丌 上是根据弹簧 V 振 子 运 动 规 律 = 2 詈 ( 即 物 体 所 受 回 复 力 中 的系数) 推演出来的， 因此我们只要求出物体所受 回 复 力， 进而 求出 公 式中 的k ， 代人 公 式 ： 2 7 c 、 V 便可以把物体运动的周期求出 选小球为研究对象 ， 以圆环为原点建立参考系 ， ， 分析受力 ， 从 图 1 可知小球所受回复力为 f=m g s i n O+m a M c o s O ( 1 ) 我们只需求出 a 的值即可求得回复力的值 而选 圆环为研究对象以地面为参考系 ， 可得 T s i n O= Ma M ( 2 ) 小球所受 向心力为 m孚 ： + n 一 c 础 ( 3 ) 由动能定理可知 m y 一 0=m g l ( c o s 0 一c o s O o ) ( 4 ) 由式 ( 3 ) 、 ( 4 )可得 T= m g c o s Om a M s i n O+2 m g l ( c o s 0一c o s O o ) ( 5 ) 因为 0角为微小角 ， 则 c o s O 、 c o s O 。 按无穷级数展开 都近似等于 1 ， $ 1 ( c o s Oc o s 0 0 ) 等于零 ， 于是( 5 ) 式 变为 T = m g c o s 0一m a t s i n O ( 6 ) 把式( 6 ) 代入式( 2 ) 可得 a M = = ( 7 ) 其中 c o s O：1 s i n 2 0：0 把式( 7 ) 代入式( 1 ) 可得 ，= m g s i n m mmg s is n 2i n O c+o s O= s i n + 一mZ g s i n O= m g s in 0 ( 1 + m ) 0为微小量 ， 故 0 s i n O 所 以 = m O ( 1 + m ) = ( ) = ( ) 戈 = 2 0 0 9年第 4期 物理通报 物理问题研 究 2 2 2 根据 一 =A w求解 由振动公式 =As i n ( o J r + ) 可得 ， 速度 的表 达式为 ：一A ws i n ( o ) t+ ) ， 则我们可知物体取得 的最大速度值为 一 =A w( A为物体振动的振幅) ， 又 因 T： ， 所 以可得 T ： 2 7 rA 若 0为细线与竖直方 向的最大夹 角， 以圆环为 参考系， 取小球为研究对象 ， 由动能定理可得 1 T T ,V m = ( 1一c o s 0T T L V m g l c o s U ) 。= L 一 即 ： ： s in e O ： 臼 其中 0为极小量 ， 故 0 s i n0 由动量守恒 m y +m y =0 ， 得 M 一 M m 又 由 绝 对=l ， 相 对+1 ， 牵连可得 ， 小球相对 于圆环的速 度为 V m a x =一U M= 镥 + 而小球相对于圆环的振幅则为 A= A + 4 = l O + =lO 把 、 A k T= 可得 砑 一 2 3 建立微分方程求解 小球有微振动时 ， 圆环 由于受到细绳 的拉力也 在水平杆上做往复运动， 我们取图 1 所示位置进行 分析， 此时圆环受到的合外力 F=T s i n 0=M a 肘 取 小球为研究对象且以圆环为参考 系 ， 此 时的参考 系 是一个非惯性系， 列方程时则要考虑惯性力 若我们 求出了参考系的惯性加速度即 a ， 我们就可列出单 摆 的振 动方 程 m =一 mgs i n 0+ ma Mc o s O m 一 + 即 z ：一g s i n + 。 s ( 8 ) 因为圆环在水平杆上做 的是简谐运 动， 且在图 中所示的方 向上 ， 其运动方程可写为 M As i n wt 所 以 a M 一 A c o 2 s i nt 把 的值代人式 ( 8 )可得 z = _ gs + 2 s i nwt c o s 即 d 2 0= 一 + 2 s i n 解微分方程可得 0 的通解 ， 进而可得 的值 ， 也就算 出单摆振动的周期为 一 詈 3 小球 相 对 于地 面 的周期 3 1 根 据 ： 2 丌 詈 求 解 由于圆环与小球在水平方 向所受合外力 为零 ， 因此两者组成 的系统的质心坐标在水平方向保持不 变 ， 如图 2位置所示 由质心定理可得 即 又因为 所 以 图 2 MX M ， 础 m Ml 1= ml 2 l l+ 1 2 l ml ， Ml 1 M+ m 2 M+ m 所以小球相对于地面的回复力为 一3 一 云 ， 2 0 0 9年第 4期 物理通报 物理 问题研 究 F m = s i = 把 2 ：= 代入上式可得 F =m g = = m 一 T丁 m m +m 所 以 = 孚 故小 球相 对 于地 面 的运动 周期 为 球 = 2 ： 2 mg f 、 t M 3 2根据 Y m a x= 求解 若 0为细线与竖直方 向的最 大夹角 ， 以地 面为 参照系 ， 取小球为研究对象 ， 由动能定理可得 f +去 删 ：m g l ( 1 一 c o s O ) ( 9 ) 由动量守恒有 ， 删m 戕+MV M =0 ( 1 O ) 由式( 9 ) 、 ( 1 0 ) 可得 m ax： 2一 g z ( 1 一 。 ) ： 从 一 M ,n 2 0 = ( 11 ) 式中 0为极小量 ， 0 s i n 0 根 据T = 2 兀 m 求 解 的 方 法 得 出 的 计 算 结 果 就可得 出小球的振幅 和惯性力的合力 若取图 1 所示 的惯性力的方 向， 则 回复力则应是 F=m +口 M s in 0 ， 可得单摆的振 动方程 m ：一m s i n OM 孔 i 一m g +口 与方法一同理， 只要求出 a ， ( =A s i n o J t ， a M=一A w s i n w t ) ， 则可求解出此微分方程 ， 得出 0 的通解 ， 进而求得 及单摆振动的周期为 一 4 圆环相对于地面的周期 4 1 根 据 = 2 兀 詈求 解 同理用 =2 m求解小球周期的方法 ， 圆环 所 受 回复力 为 F M=Ma 肘， 且 利 用 已求 出 的结 论 。 = ， 可得 ： ： = 咏 = m g X M 把 f ： 代入上式可得 = M= 所 以 = 学 圆环 = = = 2 s i n = f s i n = 2 丌 ( 1 2 ) 把式( 1 1 ) 、 ( 1 2 ) 分别代人 ： 可得 ， 小球相 对于地面的运动周期为 吉 一 詈 3 3 建立微分方程求解 由于小球振动时圆环也会在水平杆上做往复运 动， 因此若以地面为参照系时小球的平衡位置就不 再是竖直线 ， 这是由于惯性力 的结果 ， 此时在惯性系 中的小球受到的回复力不再是 m g s i n O了， 而是重力 4 丝 监 l M f 2 丌 4 2 根据 一 7 -A o o 求解 若 0为细线与竖直方 向的最大夹角 ， 以地面为 参照系， 取圆环为研究对象 ， 由动能定理可得 M +吉砌一 =m g l ( 1 一 c o s O )( 1 3 ) 根据动量守恒有 删 一 十Mv 肼 =0 ( 1 4 ) 由式( 1 3 ) 、 ( 1 4 ) 可得 嘶 = 一 m ( 15 ) 2 0 0 9年第 4期 物理通报 物理问题研 究 式 中 0为极 小量 ， 0 s i n 0 根据T： 2 兀 詈求 解的方 法 得出 的计 算结果 就可得出圆环的振幅 = =l l s i n 0 = l s i n 0 = 1 0 ( 1 6 ) xX( 1 5 ) 、 ( 1 6 ) 分别代入 T：2 r c_ _ AA，可得圆环相 对于地面的运动周期为 圆环 = 2 5讨论与总结 根据 以上所求得的周期可以得 出如下结论 ( 1 ) 小球对环 的周期 、 小球对地 的周期及 环对 地的周期都相等， 我们说系统振动周期也是 ( 2 ) 无论取地面为参考系还是取圆环为参考 系 ， 小球的运动周期均为 舌 若 M m时 ， 就可得到小球一般形式的运动周期 詈 由于圆环的运动周期也为 因此可以说 由小球 和圆环所组成的系统其振动周期 为 ( 3 ) 取地面为参考系时， 小球所受回复力为 = mgs i n O 振幅为 =f 2 s i n 0 = 1 0 圆环所受回复力为 = = = s i n 0 振幅为 A M = l l s i n 0 = 可得 FM = AM A 即小球与圆环所受 回复力相等但振幅不 相同 其振 幅之所以不同的原 因是小球与圆环的质量不 同， 只 有当 M = m 的特殊情况下 ， 二者运动的振幅才相 同 ( 4 ) 若原题 中水平杆 由光滑 的变 为粗糙 的， 求 解思路还是一样 ， 以上所使用的三种方法均可用 ， 唯 一需要变动的只是在求解 圆环加速度 口 M时加上摩 擦力的贡献即可 ， 但须注意此时圆环与小球在水平 方 向所受合外力不再为零 ， 二者的动量不再守恒 厂 - ( 5 ) 当 m 时 ， T -+ 2 4古 ，无 悬 挂 点 单 摆 趋 于中学物理教材中的单摆 通过 比较 以上求解方法我们可 以看出， 建立微 分方程求解 ， 虽然思路清晰 ， 步骤简洁 ， 对 中学物理 教师有一定的参考价值 ， 但中学生缺乏求解微分方 程的准备知识， 难以理解， 因此这种方法有一定的局 限性 _ _ 一 根 据T = 2 罟求 解 和 根 据 一： A w 求 解 的 一 方法 中学生则更易于理解接受 采 用 公 式T = 2 丌 詈解 题 ， 思 路 清 晰 ， 题 目 难 度也相对下降 ， 避开了一般解法 中确定平衡位置的 难点 无 固定悬挂点的问题属于非惯性系的问题 ， 因 此在解答过程中要 注意惯性力 的使用 ， 惯性加速