第4卷第1期19 89年3月永动力学研究 与进展JOURNALOFHRDYONDYAMICSVol.Mar,凡i1马89浮泥海床上孤立波的粘滞衰减姜林赵子丹(天津大学 水资源与港湾工程系)摘要本文将海底浮泥作为粘性流体处理,利用分层流体模型,首次研究了浅水孤立波在浮泥海床上的 衰减。在分层流体模型中引入了三个边界层,理论推导 分析得出了边界层内外的流速分布;由边界层内粘滞能量损失推求出波高 沿程衰减系数。为证明本文理论,采用天津新港浮泥进行了水槽实验,实 测波高沿程衰减与理论预测值符合 良好。引言淤泥质海岸和大河河口处,海底往往覆盖着一层厚厚的 浮泥。海底浮泥对当地海 浪 的传播有很大影响,在进行海岸工程设计时必须考虑浮泥的影响。关于浮泥海床上波浪的衰减问题多采用分层流体模型 进 行研究。Gd ae ,Da ly rmpl。和Liu “分别对线性波在浮泥层 上的衰减进行了研究,得到了很好的理论结果和实验结果。另有许多学者对这一问题进行了大量实验研究工“,1,但他们的实验仅限于线性简谐波,所得结果缺乏 足够的理论分析。我们知道,在近岸浅水中波浪 的非线性效应是显著 的,利用线性波理论估算的结果常常与实际情况不符。因此,有必要研究一下近岸非线性波在浮泥海床上的传播问题。二、理论分析1.理论分析模型 与基本假定本文中仍将采用分层流体模型来研究浅水 非线性波 在浮泥海床上的传播.在此我们只研究浮泥海床上孤立波的传播,分析重点放在波高的 沿程衰减上。对于椭圆余弦波在浮泥海床上的传播也可以做类似的分析,关于此问题本文作者正在研究之中。理论分析模型示意图如 图1所示.上层流体是水体,下层流体是浮泥。由于上、下两 流体的粘性均较小,边界层的厚度与 水深或泥厚相比甚微,粘性效应主要限于界面及刚性底面附近。所以在远离边界层的地方可以认为运动是有势的,这部分运动可以由通常的势流理论求得2,“.边界 层内流体的运动是有旋运动,这部分运动可以由边界层运动方程求得“J.在本文模型中考虑了两流体分界面处的 两边界层和 刚底处的一边界层。界面处的边界层 保证了流体质点轨迹速 度和剪切应力在界面处的连续性,刚性底面处的边界层则保证了流体质点在刚底 处满足 无滑 移条本文于198丫年1 2月31日收到。国家自然科学基金资助课题。一石1一! ! ! ! !丫i i i刀刀刀各i i i1 1 1一一了一一,. .-.- 图1理论分析模型示意图件。这样就使得理论分析模型更加符合卖际。在以下的分析中将采用如下基 本假定:(1 )上、下两层流体均匀且不可 压缩;(助浮泥层下的 刚性底面是水 平、不可渗透 的;( 3)下层浮泥不发生悬扬、界面波不破碎;( 4)两层流体系统在水平方向可以看作无限的,且不计地转柯氏力的影响;(动波 浪运动中没有水流的影响:(6 )仅考虑一阶精度的浅水孤立波。2.有势运动 及 边界层运动 的基本方程设上层水体运动 的速度势为中(二,二,) t,自由波面 的升降为袱x,) t,则水体的运动方程及自由波面处的边界条件为:、JJ、工12了、了、aZ中aZ中一蕊 声.十万了二。一奈+肇 会+晋l(芸)2+(肇)+:一。邑之1+月之=1+n2=1+刀(3)神下神一、设甲(%,2,) t为下层流体运动 的速度势,毛(二,约为界面的升降,则下层流体的运动方程及底面 处的边界条件为:、J、,户45矛、了气龟aZ甲.02甲卜二玉t二厄十一万T 万.二U 口汤口之O甲 弋丈,=U U名一n之乞2=一n两流体界面处的运动和动力边界条件为:,矛、.声 67了.吸了、粤一季十豁 斋 餐一季+会 器票+晋!(鲁)2+(肇)卜:一祭、乳(鲁? + )(鲁门+:2=七2=息之=邑(8)式中,=P l/pZ厂,=d/D无穷远处边界条件为:小,印,劝,邑 、0,当劣、士o c(9)往意,在以上每个方程中所 出现的物理量均为无量纲 量,它 们都已用特征长度D和特征速度(夕D )12无 量纲化,即:一52一(戈,z)=D一(戈米,君宋),(刀,乙)=D一,(月*,邑来)( 中,甲)=D一,(gD )一I,(中米,甲军),t=D一(夕D )IZt来式中带“米”者为有量纲量。(10)为满足 交界面处运动 及 动力连续 条件和底面处流体质点运动无滑移条件,引入了三个边界层I、五和1 1 1.边界层工和亚分别在界面附近的上、下层流体中,边界层1 1 1位 于底面附近的下层流体中.边界层内的流速可以分为两部分,一部分为有势部分,另一部分为粘性修正部分,三个 边界层内流速分布分别可写为:,一祭十队一祭+。:(1 1)(1卫)a甲 u”=一百了+U3(1 3)式中,u:(二,z,t),。2(二,二,t)和。3(二,z,t)分别代表边界层内的流速分布,U,(二,z,t)、U:(戈,z,)t和U3(戈,z,) t分别代表三边界层内流速的粘性修正项。三边界层的 运动方程为:会一晋u器十。:鲁 会一令二斋瞬会会=令二斋+、:鲁(1 4)(16 )(16 ),各;和各:分别代表边界层I和互、1 1 1的厚度。恤俩场餐u a l一改u a z一、机一、a小 式甲,U=孤一,“=:、。:和。分别满足如下边界条件:之=邑(1 7)二=息(18)“;,“2,“s、0当%、土c c式中,m二内/;=p:vZ/p,v;,这里件:、;2分别为上、下层流体的动力粘性系数,上、下层 流体的运动粘性系数.在方程( 11 ) 一(20 )中新出现的物理 量也都如 下无量 纲化。(1 9)(20)、,、v:分别为(u:,u:,u:)=(gD )一,12(u李,u资,u套)(U:,U:,U。)=(gD )一12( U爹,U妾,U孝(乙;,各2)=D一,(各空,各尝)(21)触“,=丫雳,“=犷斋量均为无量纲量。带“*号者表示有量纲量.以下若 不特别指 明,所出现的一石3一3.有势运动 的解答在求解有势部分运动解答之前,先分析讨论一下线性波在分层流体中的 色散关系式.线性波在两层流体系统中的传播问题最先被So tke s所解决.,波浪运动的 色散关系为:1+rtanhkta nh(”k)a4一耘ta nh化+tanh(n k)a“+(1一r)kZta nh无tanh(n k)二0(2 2)式中,k和口分别是波数和波浪圆频率。由方程(册)可求得波速c的表达式如下:旦 k(T:+T:)士斌(T:+全百户二取1二r) T:几(1十跳(1+rT;T:)己互一“ (2 3)式中,T:=tanhk,犷2=tanhn耘.由式( 23 )可见,分层流体中波浪传播有两个可能的波动速度,根据这两个波速值的大小分别将其相应 的波动称为快模态和慢模态。从式(皿)可以看出这两种模态都是色散的,只有当k、0时波浪才变为非色散的.在本文中,我们要研究的是弱 色散性与弱非线性相平衡的孤立波在二层流体系统中的传播,即砂1的情形.因此,我们将式(邓)展开成如下砂幂级数形式【吕:e一荃c。1一A kZ+o (“4)(触)式中,1尸,_.、. 一一_=,万L气1+n)士斌Ll十n)一怪月Ll一r)J 乙刁=(1+n)【1一(1一3r),+nZc言一(1一r)。(1+3r n+。2)6(1+。)e孟一2(1一r)n在心 中分别取+、一号即可求得快模态和慢模态情况下的波速值。为求解有势运动方程组( 1)一(9 )的解,引入如下坐标变换:p=。,2(劣一e。*),T=。sIZt,z=z(肠)其中,是小参数,。=o (矿).e既是色散程度的量度又是非线性程度的量度,因此可将待求物理量”、七、中、甲展开为如下e的 幂级数形式:刀(P,丫)=月一(P,下)+ez月:(P,丫)+(2 6)七(p,T)=e七:(p,:)+。2七:(p,丫)+(2 7)巾(p,2,T)=。,12中:(p,z,t)+。中:(p,z,)+(2 8)甲(p,z,T)=。12甲:(p,2,T)+e甲:(p,z,丫)+ (2 9)将式(25)一(29)代入方程(1)一(9)中,分别令方程两端e12、。312、。巧12项前的系数相等,得到一系列方程,解这些方程得 到如下结果.1:中l=中i(p,下),叭=甲:(p,下)(3 ( )_tl”.=一竺 立云_c君一n,只(31)君1 (82)=c。七:(韵)竺如佩目忑万其中,邑:(p,钓满足如下形式的Kd 犷方程:一砚一此,.。戈,.,护氛一石二-十a弓1一万寸十O一万丁百一=U .L一。 pOp(3 4)其中,C 3。以1+r。)e言一(1一r)。(2一”) 2(c忿一n)(1+n)c考一2(1一r)。b=coA方程(3 4)的稳定的孤立波形式的解为t“,1 1 1:=*s二。2【衬户万石厂!p一 土乙O、ah1 一T1 13/ J(36)式中,h为界面波的振幅。为使用方便起见,将上述解答转换回(戈,:,) f坐标系统,并考虑采用使波浪运动定常化的方法来研究波动的传播.这样,精确到e阶的界面波波面升降毛的表达式可写成:,_t,厂而r_“=“s e “”丫, 厄孤万(36)由式(2 6)、(8 1)及(8 6)可得自由表面波波面 的升降.劝为:;二 _L,/石王厂一_, =“ ”“习丽丽万弄(济)式中,H是自由表面波的振幅,它与界面波的振幅满足如下关系:H=万入,M=c君 c言一。(38)这里,我们规定孤立波的波长入为:一些鱼丫12 (39)了 .、.一一几人由式(犯)、(33 )可得上、下层流体运动的水平速度为:U=“=_t,工 =“,n se cn“了(扔)a劣_。、s oc”2奇 (41)式中,“。= =co/(c君一n)4.边界层内流速分 布的求解考虑精度为e阶的解,忽略掉方程( 14 )一( 19 )中的高阶项,我们得出如下边界层方程及其相应的边界条件:aU:,。aZU,二导砰=各 势二矛气卫 at一Ula22aU,。OZU,一 - 又二一=O;, 号 - 花-口 t一02“aU,。aZU, 止岑 产=邑七 共井矛一西=L ,花穿U:+U=U:+“aU,OU,az.一“aZ认+二=0(42)(43)z=0(44)(46 )念一二0(拐)(必)一66一Ul,U:,U,、0X冲+。C(4 8)对于波形变化缓慢的孤立波,近似地有OU:乙全aZU:万牙二一不一万乎,aU:各孟a七: 币万=一花了万乒OU。各盆aZUs万牙=一. 飞石一百乎r 飞不自一与,百歹.,将此关系代入方程(如)一(4 4),得(4 9)(印)(51)为在无穷域内求解方程组(49 )一(石1 )的解,将U:、U:、U。进行如下Fou ie r积分变换t“,。:广十. U(。)一j_UedX(j=1,2,3)(52)将(能)代入方程(4 9)一( 61 )并将边界条件(45 )一(盯)作相 应的变换,可得:一。(分)仃!一、。(备)仃:一*。(备)氏(5 3)(弘)( 66)势恐曝仃2一亡:=(。一。0)艺(研)(盯)一Co(阳)一一一一22 门J一之曰 丫川一d 一勺七鲁介联立求解方程(石3 )、(盛)、(防)、(皮),可得U:和U:的表达式如下:U:=一令f升:( ,)叮;飞一命柳一阿一幻一奇了粤、= u z令犷升2:(, )叮;一渝哪 一。(一卜贡了零d。式电c l一9 c z,会瑞赢二,C:一响 爷儡联立求解方程( 5 助、(68 ),可得U:表达式如下:( 69)(60)lr,。._二+r里,_、矛/. 石瓦1,U:=一告1co七( l) dl,e一布“012明.。(l一 戈)一嘴一以 书笋 Id。( 6 1)“昌一介J一o、,产“J。一一一“一、一各:,ZJ一、u.J,式中,扩=2十。为使U:、U:、U3的表达式便 于推导 计算,仿照Keu Iogon (1 948 )r川