25.（10 分）已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，ABC=60，EAF 的两边分别与射线 CB、DC 相交于点E、F，且EAF=60 .（1）如图 12-1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系；（2）如图 12-2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合） ，求证：BE=CF；（3）如图 12-3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB=15时，求点 F 到 BC 的距离。(2016济宁)如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB 至点 F，使 CFCA，连接 AF，ACF 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，N，M，连接EO.(1)EO，求正方形 ABCD 的边长；2(2)猜想线段猜想线段 EM 与与 CN 的数量关系并加以证明的数量关系并加以证明(2016玉林)如图 1，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点 O 是四边形 EFGH 对角线 FH的中点，四个顶点 A，B，C，D 分别在四边形 EFGH 的边 EF，FG，GH，HE 上(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形；(2)如图 2，若四边形 EFGH 是矩形，当 AC 与 FH 重合时，已知2，且菱形 ABCD 的面积是 20，求矩形 EFGH 的长与宽ACBD9如图，四边形ABCD 是菱形， AC=8，DB=6，DHAB 于 H，则 DH 等于（ ）ABC5 D417如图，在 ABC 中， C=90，AC=BC=，将 ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60到ABC的位置，连接CB，则 CB= 1 【考点 】旋转的性质 【分析 】连接 BB，根据旋转的性质可得AB=AB，判断出 ABB是等边三角形，根据等边三角形 的三条边都相等可得AB=BB，然后利用 “边边边 ”证明 ABC和BBC全等，根据全等三角形对应 角相等可得 ABC=BBC，延长 BC交 AB于 D，根据等边三角形的性质可得BDAB，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、CD，然后根据 BC=BDCD 计算即可得解【解答 】解：如图，连接BB， ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60得到 ABC， AB=AB，BAB=60， ABB是等边三角形， AB=BB， 在ABC和BBC中，ABCBBC（SSS） ， ABC=BBC， 延长 BC交 AB于 D， 则 BDAB， C=90，AC=BC=，AB=2，BD=2=，CD=2=1，BC=BDCD=1故答案为：1【点评 】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角 形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的 难点24如图，把 EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E，F，P 分别在线段AB，AD，AC 上，已 知 EP=FP=6，EF=6，BAD=60，且 AB6 （1）求 EPF 的大小； （2）若 AP=10，求 AE+AF 的值； （3）若 EFP 的三个顶点E、F、P 分别在线段AB、AD、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大 值和最小值【考点 】菱形的性质；几何问题的最值 【分析 】 （1）根据锐角三角函数求出FPG，最后求出 EPF （2）先判断出RtPMERtPNF，再根据锐角三角函数求解即可， （3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP 最大和最小值 【解答 】解：（ 1）过点 P 作 PGEF 于点 G，如图 1 所示PE=PF=6，EF=6，FG=EG=3，FPG=EPG=EPF在 RtFPG 中， sinFPG=，FPG=60， EPF=120 （2）过点 P 作 PMAB 于点 M，作 PNAD 于点 N，如图 2 所示AC 为菱形 ABCD 的对角线， DAC=BAC，AM=AN，PM=PN 在 RtPME 和 RtPNF 中， PM=PN，PE=PF， RtPMERtPNF， ME=NF又 AP=10，PAM=DAB=30，AM=AN=APcos30=10=5，AE+AF=（AM+ME）+（ANNF）=AM+AN=10（3）如图，当EFP 的三个顶点分别在AB，AD，AC 上运动，点P 在 P1，P 之间运动， P1O=PO=3，AO=9， AP 的最大值为12，AP 的最小值为6， 【点评 】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的 关键是作出辅助线(2015柳州 T2410 分)如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，B90，AB8 cm，AD12 cm，BC18 cm，点 P 从点 A 出发以 2 cm/s 的速度沿 ADC 运动，点 P 从点 A 出发的同时点 Q 从点 C 出发，以 1 cm/s 的 速度向点 B 运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q 也停止运动设点 P，Q 运动的时间为 t 秒 (1)从运动开始，当 t 取何值时，PQCD? (2)从运动开始，当 t 取何值时，PQC 为直角三角形？【思路点拨】 (1)已知 ADBC，添加 PDCQ，即可判断以 P，Q，D，C 为顶点的四边形是平行四边形；(2)点 P 处可能为直角，点 Q 处也可能是直角，故需要分类讨论求解解：(1)当 PQCD 时，四边形 PDCQ 是平行四边形，此时 PDQC，2 分122tt.解得 t4. 当 t4 时，PQCD.4 分 (2)过 D 点作 DFBC 于 F. DFAB8，FCBCAD18126， 由勾股定理得 CD10. 当 PQBC 时，则 BQCQ18， 即 2tt18，解得 t6；6 分 当 QPPC 时，此时 P 一定在 DC 上， CP110122t222t，CQ1t， 易知CDFCQ1P1.解得 t；8 分222t6t1011013 当 PCBC 时，DCB90， 此种情形不存在综上所述，当 t6 或时，PQC 是直角三角形.10 分11013 (2014柳州)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90 后，得到线段 PE，且 PE 交 BC 于 F，连接 DF，过点 E 作 EQAB 的延长线于点 Q. (1)求线段 PQ 的长； (2)问：点 P 在何处时，PFD BFP，并说明理由解：(1)根据题意，得 PDPE，DPE90，APDQPE90. 四边形 ABCD 是正方形，A90.ADPAPD90. ADPQPE. EQAB，AQ90.在ADP 和QPE 中，AQ， ADPQPE， PDEP，)ADPQPE(AAS) PQAD1. (2)当 P 点为 AB 的中点时，PFDBFP. 理由：ADPBPF，AFBP，DAPPBF.PDPFAPBFP 点为 AB 的中点，PA ABPB.12，即.PBBFPDPFPBPDBFPF 又PBFDPF，PFDBFP.2(2017海南)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 在 AD 边上运动，且不与点 A 和点 D 重合，连接 CE，过点 C 作 CFCE 交 AB 的延长线于点 F，EF 交 BC 于点 G. (1)求证：CDECBF；(2)当 DE 时，求 CG 的长；12 (3)连接 AG，在点 E 运动过程中，四边形 CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时 DE 的长；若不能，说明理 由解：(1)证明：在正方形 ABCD 中，DCBC，DABCDCB90，CBF180ABC90，DCEECBDCB90. CFCE，ECF90. BCFECBECF90. DCEBCF. 在CDE 和CBF 中，DCBF90， DCBC， DCEBCF，)CDECBF(ASA) (2)在正方形 ABCD 中，ADBC，GBFEAF.BGAEBFAF 由(1)知CDECBF，BFDE .12 正方形的边长为 1，AFABBF ，AEADDE .3212 .BG .BG12123216CGBCBG .56 (3)不能理由：若四边形 CEAG 是平行四边形，则必须满足 AECG，AECG，ADAEBCCG.DEBG. 由(1)知CDECBF，DEBF，CECF. GBF 和ECF 是等腰直角三角形 GFB45，CFE45. CFAGFBCFE90. 此时点 F 与点 B 重合，点 D 与点 E 重合，与题目条件不符， 点 E 在运动过程中，四边形 CEAG 不能是平行四边形4(2017贵港)已知在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC2，D 是 AC 边上的一个动点，将ABD 沿 BD 所在直线折叠，使点 A 落在点 P 处 (1)如图 1，若点 D 是 AC 中点，连接 PC. 写出 BP，BD 的长； 求证：四边形 BCPD 是平行四边形； (2)如图 2，若 BDAD，过点 P 作 PHBC 交 BC 的延长线于点 H，求 PH 的长解：(1)BP2，BD2.52证明：延长 BD 至 E，D 是 AC 边的中点，AC4，BC2， DCADBC. 又ACB90，BDC 是等腰直角三角形， BDCADE45. 由折叠(轴对称)性质可知，EDPADE45，PDAD2，PDA90. PDBC，且 PDBC2. 四边形 BCPD 是平行四边形 (2)连接 AP 并延长与 BC 的延长线交于点 F，延长 BD 与 AP 交于点 E， 由折叠(轴对称)性质可知， PDAD，PDEADE，BEAP，PEAE.BDAD， 在 RtBDC 中，由勾股定理，得 BD2(4BD)222，BD .52ADBD，ADEBDC， RtPDERtADERtBDC. PA2BC4，FACDBC. RtFACRtDBC.FAACBDBCFA5，则 PF1. PHBC，PHAC. RtFPHRtFAC.PHPFACFAPH .45