教案教案 函函 数数 的的 幂幂 级级 数数 展展 开开 复复 旦旦 大大 学学 陈纪修陈纪修 金路金路 1 教学内容教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较 它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数， 提高学生的计算与运算 能力。 2指导思想指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论， 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法， 这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展 开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函 数的幂级数展开公式（见下面的（*）式） ，但一般来说，直接利用（*）式来求 函数的幂级数展开往往很不方便， 因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域 O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数： （*） ).,(,)(!)()(0 000)( rxOxxxnxfxfnnn =另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x) = ex = =0!nnnx! 3! 2132nxxxxn ?+=+ , x (-, +)。 (2) f (x) = sin x = =+ +012 ! ) 12( ) 1(nnn xn)!12() 1(! 5! 31253+=+nxxxxn n?+ , x(-, + )。 1(3) f (x) = cos x = =02 ! )2( ) 1(nnn xn)!2() 1(! 4! 21242nxxxn n+=?+ , x(-, + )。 (4) f (x) = arctan x = =112112) 1(nnn xn12) 1(531253+=+nxxxxn n? + , x-1, 1。 (5) f (x) = ln (1 + x) = =+11) 1(nnn xnnxxxxxn n 1432 ) 1(432+=? + , x(-1, 1。 (6) ，0 是任意实数。 f xx( )()=+1当是正整数 m 时， f (x) = (1 + x)m = 1 + mx + 2 2) 1(xmm+ + + x1mmxm ，x(-, +) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当不为 0 和正整数时， = =+0)1 (nnxnx, =xxxf 关于变量11 + xx的幂级数展开。 解解 令,11 +=xxt 则) 10(,11+=+=+=xxx ntnnnnn2对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例例4 求21)(xxf= 在 的幂级数展开。 1=x解解 由于=+=0) 1() 1(111)(nnxxxxg，利用逐项求导，即可得到 ).2, 0(,) 1)(1() 1()( )(101+=xxnxnxgxfnnnn例例 5 求 f (x)= arcsin x 在0=x 的幂级数展开。 解解 利用(6)式 )21(=，可知当 x(-1,1)时， 211x= 21 2)1 ( x = = 0221 )(nnxn= 1 + 2 21x + 4 83x+ + nxnn2 !)!2(!)!12(+ ， 对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与 xtt021d= arcsin x， 即得到 arcsin x = x + =+11212!)!2(!)!12(nnnx nn， x-1, 1。 其中关于幂级数在区间端点 x = 1 的收敛性，可用 Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于的一个级数表示： 2= 1 + =+0121 !)!2(!)!12(nnnn。 3对形如，对形如，)()(xgxf)()( xgxf的函数，可分别用的函数，可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法” 。乘积与“待定系数法” 。 设 f (x) 的幂级数展开为，收敛半径为R=0nn nxa1，g(x) 的幂级数展开为, =0nn nxb3收敛半径为R2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： f (x)g(x) = ()() = , =0nn nxa=0nn nxb=0nn nxc其中cn = , 的收敛半径 =nkknkba0=0nn nxcR minR1，R2 。 当b0 0 时，我们可以通过待定系数法求)()( xgxf的幂级数展开：设 )()( xgxf= , =0nn nxc则 () ()= , =0nn nxb=0nn nxc=0nn nxa分离 x 的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0 c0 = 00 ba, b0 c1 + b1 c0 = a1 c1 = 0011 bcba ， b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2 c2 = 002112 bcbcba， 一直继续下去，可求得所有的cn 。 例 6例 6 求ex sin x的幂级数展开( 到x5 )。 解解 ex sin x = ( ! 4! 3! 21432xxxx+ )(?+! 5! 353xxx) = x + 532 301 31xxx+ + ， 由于与的收敛半径都是xexsin=R， 所以上述幂级数展开对一切x(-, + ) 都成立。 例 7例 7 求tan x的幂级数展开( 到x5 )。 解解 由于 tan x 是奇函数，我们可以令 tan x = xx cossin= c1 x + c3 x3 + c5 x5 + ， 于是 (c1 x + c3 x3 + c5 x5 + )(?+! 4! 2142xx) = ?+! 5! 353xxx， 比较等式两端x, x3与x5 的系数，就可得到 c1 = 1, c3 = 31, c5 =152, 因此 tan x = x + 31x3 + 152x5 + 。 4 “代入法”“代入法” 4对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在 u11= = 1 + u + u=0nnu2 + 中，以 u = ?+! 4! 242xx代入，可得到 xcos1= 1 + (?+! 4! 242xx) + (?+! 4! 242xx)2 + = 1 + x2 + 245x4 + ， 然后求 sin x 与xcos1的 Cauchy 乘积，同样得到上述关于 tan x 的幂级数展开。 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x =的小邻域中，幂级数展开是成立的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (-0x2, 2)，它的证明需要用到复变函数的知识） 。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x)，ln(1 + f (x)等函数的求幂级数展 开问题。 例例8 求 在的幂级数展开( 到xxexfsin)(=0=x4 ) 解解 以 ?+=+=+=6)!12() 1(sin3 120xxxnxunnn代入 ?+=xxxxnxexfnn x4320sinsin241sin61sin21sin1!sin)(， 即可得到 ),(,81 211)(42sin+=xxxxexfx?。 注注 对于求函数在xexfcos)(=0=x的幂级数展开问题，我们不能采用以?+=42 241 211cosxxxu 代入=0!cos)(nnnxxf的方法，请学生思考为什么，并思考应该怎样正确使用“代入法” 。 例 9例 9 求lnxxsin的幂级数展开( 到x4 )，其中函数xxsin应理解为 f (x) = =. 01, 0,sinxxxx，解解 首先，利用 sin x 的幂级数展开，可以得到 xxsin= ?+! 5! 3142xx。 令 u = ?+! 5! 342xx代入 ln (1 + u) = u - ?+3232uu，即得 5lnxxsin= (?+! 5! 342xx) - 21(?+! 5! 342xx)2 + = ?180642xx。 利用例 9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 xxsin= =1222 )1 (nnx, 两边取对数，再分别将 ln)1 (222nx展开成幂级数， lnxxsin= =1222 )1ln(nnx= - =+1444222 )21(nnx nx?。 将上式与本例中的结果相比较，它们的x2系数，x4系数都对应相等，于是就得到 等式 =121nn= 62, =141nn= 904。 如果我们在计算时更精细些，也就是将lnxxsin的幂级数展开计算到x6，x8，还可以获得=161nn，=181nn，的精确值。 注意点注意点 1 如果 在邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x)(xf0x0 的Taylor 级数（*） ；但反之则不然。事实上，我们举出过在0xx = 任意阶可导的函数，它在的Taylor级数并不收敛于。但一般来说，对于有解析表达式的初等函数，只要它在)(xf0x)(xf)(xf0xx = 任意阶可导，则它在的Taylor级数就是它在邻域的幂级数展开。 0x0x2 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。 事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*） 来都要方便， 而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法。 3 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只 能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了， 例如例 9 中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定。 6