拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在19世纪末发展起来的首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法 拉普拉斯（Laplace）变换在光学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用由于它的像原函数f(x)要求的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广本章首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积分表达式复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最后介绍拉普拉斯变换的应用 傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的， 但在系统分析方面有不足之处：对时间函数限制严， 是充分条件。 不少函数不能直接按定义求，如增长的指数函数 eat a0，傅里叶变换就不存在。不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。求傅里叶反变换也比较麻烦。6.1 6.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 （一） 拉普拉斯变换的定义为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一个实函数个实函数，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本条件条件首先首先将函数 乘以单位阶跃函数： 得到 ，则根据傅氏变换理论有很显然通过这样的处理，当 时， 在没有定 义的情况下问题得到了解决但是仍然不能回避 在 上绝对可积的限制为此为此，我们考虑到当 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 于是有 上式即可简写为这是由实函数 通过一种新的变换得到的复变函数，这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换为核.拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊 情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。0封闭积分路线0)(Res1j =tABepftpni以左的极点在留数法的特点 在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展开 法一致。 留数法比部分分式展开法应用广泛一些。如无理 函数、双边拉普拉斯变换等。 运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激函 数及其导数不符合约当引理，因此当原函数 f (t)中包含有冲激函数及其导数时，需先将F(s)分 解为多项式与真分式之和，由多项式决定冲激函 数及其导数项，再对真分式求留数决定其它各项 。例4解：用留数法，在以左围线包含的极点的留数为：已知 ，求 f (t)。已知 ，求 f (t)。解：用留数法，在以右围线包含的极点的留数为：解：用留数法，在以左和 以右围线各包含一个极点。 原函数为：已知 ，求 f (t)。或拉普拉斯变换的性质应用拉氏变换的性质求反变换解：应用时移性质：例5：已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。解：应用时移性质：解：应用时域微分性质：已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。解：令 已知根据频移特性：根据周期函数的拉普拉斯变换：56A.拉普拉斯变换：将原函数满足的微分方程变换为 像函数 满足的代数方程。 B.解代数方程得像函数。 C.反演：由像函数得出欲求的原函数。RL 电路的方程6.3 应用解常微分方程思考：拉普拉斯变换法在求解常系数线性微分方程的优点表 现在哪些方面？反变换反变换: :拉氏变换拉氏变换: :