欢迎指导 直角三角形三边的关系 华夏中学这就是本届大会 会徽的图案你见过这个图案吗？你听说过勾股定理吗？这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”2002年国际数学家大会在北京召 开。相传2500年前，毕达哥拉 斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某种 数量关系学习目标：1、会用数格子的方法求正方形的面积。2、在直角三角形中，已知两边能求第三边 。3、找出勾股定理的内容？QPR图甲 图乙 P的面积 Q的面积 R的面积11 2SP+SQ=SRC图甲1.观察图甲，小方格 的边长为1. 正方形P、Q、R的面积各为多少？正方形P、Q、R的面积有什么关系？PQ C图乙2.观察图乙，小方格 的边长为1. 正方形P、Q、R的面积各为多少？916 25SP+SQ=SR正方形P、Q、R的面积有什关系？11 2图甲 图乙 P的面积 Q的面积 R的面积R QPRSP+SQ=SR图甲“割 ”“补 ”么PQ图乙2.观察图乙，小方格 的边长为1.916 25SP+SQ=SR正方形P、Q、R的面积有什么关系？44 8PQRSP+SQ=SR图甲图甲 图乙 P的面积 Q的面积 R的面积acabc Rb3.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c2分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作 出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后 验证上述关系对这个直角三角形是否成立。做一做做一做13135 51212A AB BC C勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gougu theorem）如果直角三角形两直 角边分别为a， b，斜边为 c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.ac勾弦b股abcc2=a2 + b2a2=c2 b2b2 =c2 a2结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 ； 走进勾股世界商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周， 是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著 作 周髀 算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说 ：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意 思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4 （长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把 这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理. 关于勾股定理的发现，周髀算经上说：“故禹之所以 治天下者，此数之所由生也。“此数“指的是“勾三股四 弦五“，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是 在大禹治水时发现的。 毕达哥拉斯在国外，相传勾股定理是公元前 500多年时古希腊数学家毕达哥 拉斯首先发现的。因此又称此定 理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理” ，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟 得多。 还有称法为:“百牛定理”2002年的世界数学家大会 在中国北京举行，这是21 世纪数学家的第一次大聚 会，这次大会的会标就选 定了验证勾股定理的“弦图 ”作为中央图案，可以说是 充分表现了我国古代数学 的成就，也充分弘扬了我 国古代的数学文化， 我国数学家赵爽的“弦图”利用拼图来验证勾股定理：cab1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角 形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正 方形？4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？cabcabcabcab c2= 4ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为c24ab/2+(b- a)2cabcabcabcab (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为(a+b)2c2 +4ab/2议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三 边长是否满足a2+b2=c2？a abbcc算一算：3、在直角三角形中，两直角边的长分别为33，44，求斜边的长。4、在直角三角形中，两边的长为5，4， 求第三边的平方。提高：解:设斜边长为X, 由勾股定理得 X = 33 + 44 = 55 所以 X = 55解：1.如果5为斜边，设第三边为X5 = X + 4 所以 X = 92.如果5为直角边，设第三边为XX = 5 + 4 所以 X = 41例1 .在RtABC中，=90.(1) 已知：a=6，=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b；(3) 已知：c=13，b=5，求a；(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.例题分析(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程.方法 小结1、求出下列直角三角形中未知边的 长度。6 x25248X试一试:5 或 2、已知：RtBC中，AB，AC,则BC的长为 .试一试:43ACB43CAB例题2 : 如图，将长为5.41米的梯子AC 斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子 上端A到墙的底端B的距离AB.（精确 到0.01米）解: 在RtABC中ABC=90,BC=2.16, CA=5.41,根据勾股定理得4.96（米） DABC蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米 ？（小方格的边长为1厘米）GFE例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒， 飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多 少千米？4000500050004000CBA5、如图，ABC中，C=90，CD AB 于D，AC=12，BC=9， 求：CD的长。BACD解：在三角形ABC中 AC = 12 ，BC = 9由勾股定理得： AB = 12 + 9 所以 AB = 253、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个 三角形的面积8X16-XDABC解：设这个三角形为ABC， 高为AD，设BD为X，则AB 为（16-X）， 由勾股定理得：X2+82=(16-X)2即X2+64=256-32X+X2 X=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=481 1、这节课你学到了什么知识？、这节课你学到了什么知识？小小 结：结：3 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？2 2 、运用、运用“ “勾股定理” ”应注意什么问题？应注意什么问题？1、课本55页第2、3题。2、查阅有关勾股定理的历史资料。 3.（选做） 已知等腰直角三角形 斜边的长为2cm，求这个三角形 的周长？再见再见如果直角三角形的两条直角边分别 为a、b，斜边为c,那么这三边a、b 、c有什么关系呢？勾股定理揭示 了直角三角形的边与边的关系，那 么如何证明这个定理呢？问题：学习目标： 1.会通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正 确性。 2.能通过实例应用勾股定理。自学指导： 1. 阅读教材51-52页，试用两种方法表示大正方 形的面积，得出结论。 2.注意应将例题中的实际问题转化为数学问题， 抽象出直角三角形。b ba ac c勾股定理的证明(一)b ba ac cb ba ac cb b a a c c大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 。(a+b)2所以b ba ac c勾股定理的证明(二)a ab bc ca a b bc ca ab bc c最早是由1700 多年前三国时 期的数学家赵 爽为周髀算 经作注时给 出的，他用面 积法证明了勾 股定理你能写证明过 程吗？“弦图”2ab +（b-a）2 = c2即 2ab + b2 -2ab + a2 = c2 所以 a2 + b2 = c2 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 有趣的总统证法S梯形= (a+b)(a+b) = (a2+b2)+ abS梯形 = c2 +2 ab = c2+ab 即：在RtABC中，C=90c2 = a2 + b2伽菲尔德证法例1 小丁的妈妈买了一部34英寸 （86厘米）的电视机。小丁量了 电视机的屏幕后，发现屏幕只有 70厘米长和50厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了。你能解释这 是为什么吗？我们通常所说的34英寸 或86厘米的电视机，是指 其荧屏对角线的长度售货员没搞错荧屏对角线大约为86厘米解：702+502=7400862=7396例2 如图所示，为了求出湖两岸的A、B两点间的 距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好 为直角三角形通过测量，得到AC的长为160米， BC长为128米问从点A穿过湖到点B有多远？ 答： 从点A穿过湖到点B有96米。解： 在直角三角形ABC中， AC=160米，BC=128米， 根据勾股定理可得 .如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形ABCD的面积与周长.EFGH现学现用：假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按 照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2 千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6 千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？AB823611 1这节课你学到了什么知识？这节课你学到了什么知识？3 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？2 2 运用运用“ “勾股定理” ”应注意什么问题？应注意什么问题？1、课本第55页4、5题。2、阅读课本55页的阅读材料3、（选做题）九章算术勾股章第6题：今有池方 一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐 问水深、葭长几何？（本题的意思是：有一水池一丈见方，池中生有一棵 类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边， 正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多长？）古埃及人曾用下面的方法得到直角X按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结 ，4个结，5个结的长度为边长 ，用木桩钉成一个三角形，其 中一个角便是直角。1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否为 直角三角形。1、按要求作出53页的三角形，并观察是什么三 角形。2、阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理。下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c：3，4，4； 2，3，4； 3，4，5（1）这三组数都满足吗？（2）它们都是直角三角形吗？动手画一画如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么a2 + b2 = c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2 + b2 = c2互为逆定理勾股定理的逆定理设AB是ABC中三边中最长边，则有 ： AC2+BC2AB2 ACB为锐角BACABCABC例1 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各 三角形是否是直角三角形:(1) 7, 24 , 25 (2)12 , 35 , 37 (3)13 , 11 , 9例题解析分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只