第十一章 无穷级数从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：级数的收敛性判定问题，把已知 函数表示成级数问题，级数求和问题。重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛 域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式 ；难点常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法 和间接法， Fourier 展开，级数求和；基本要求掌握级数敛散性概念和性质掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法掌握交错级数的Leibniz审敛法掌握绝对收敛和条件收敛概念掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛 区间，会求简单的幂级数的和函数熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及 其收敛半径掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形 式的Fourier 系数掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何 将函数展开成正弦级数或余弦级数一、问题的提出1. 计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积二、级数的概念1. 级数的定义:一般项(常数项)无穷级数 级数的部分和部分和数列2. 级数的收敛与发散:余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第 次分叉：周长为面积为于是有雪花的面积存在极限（收敛）结论：雪花的周长是无界的，而面积有界解收敛发散发散发散综上解三、基本性质结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.证明注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散事实上，对级数任意加括号若记则加括号后级数成为记的部分和为的部分和记为则由数列和子数列的关系知 存在，必定存在存在未必存在四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件:证明注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要条件不充分.讨论2项2项4项8项项由性质4推论,调和级数发散.由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分以 1 为底的的矩形面积把每一项看成是以 为高就是图中 n 个矩形的面积之和即故调和级数发散调和级数的部分和五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法思考题思考题解答能由柯西审敛原理即知观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推12345练习题练习题答案