对中子扩散的菲克定律的讨论 工程物理系工程物理系 核核 82 向左鲜向左鲜 学号：学号：2008011833 引言：引言：在反应堆物理分析一书中讨论了菲克定律，但是这个定律是有成 立条件的，现将各成立条件罗列如下： 介质是无限大的 介质内部没有独立的中子源( (外中子源) ) 在实验室坐标系中散射是各向同性的 介质的吸收截面远小于散射截面 下面将讨论，当其中的某个条件不满足时，对菲克定律的相关影响。重点讨重点讨 论非均匀介质对菲克定律的影响。论非均匀介质对菲克定律的影响。 一、无源条件一、无源条件 在有源的介质内，由于中子沿途沿指数衰减，因此在距中子源大于几个平均 自由程的地方，斐克定律近似适用。 二、无限介质二、无限介质、各向同性条件、各向同性条件 在有限介质内距离介质边缘几个平均自由程之外的点，斐克定律成立。这主 要是由于对到菲克定律时，虽然积分限是无穷，但是对积分的主要贡献项是距离 参考点几个自由程以内的点。 对于散射各向异性的情形， 引入了迁移修正， 此时， 菲克定律仍然是成立的。 三、三、弱吸收介质弱吸收介质 这个成立条件是必须的，吸收很强时，会造成中子通量密度较大的变化，此 时， 原来推导时进行泰勒展开时只展开到一阶项是不准确的，但是通过计算可以证明，当对中子通量进行泰勒展开时，二阶项对,JJ+的贡献是相同的，因此对J没有贡献，因此，当吸收对中子通量密度的影响使得泰勒级数中包含的通量的 三阶导数项对积分的贡献不可忽略时，斐克定律将不成立，只要吸收不使得中子 通量密度随坐标的起伏很大， 三阶或者更高阶导数项对积分的贡献认为是可忽略 的，菲克定律都认为是成立的。 以上几种情况课堂上都详细讨论过，这里不做进一步讨论，下面主要讨论非 均匀介质时，中子的扩散。 四四、均匀介质情况、均匀介质情况 重点讨论的是这种情况， 分两种情况讨论： 有吸收 （此时当然吸收不能太强） 和没吸收两种情形。先讨论普遍的情形，最后讨论几种特殊的情形。假定介质是 无限大的。 为此，先证明一个非常简单的引理： 引理引理：假设一个介质的某种作用截面（散射、吸收等等）为( )ix，那么中子在该介质中从 A 点运动到 B 点未发生该种作用的概率为：( )BiAx e= 证明证明：首先，根据截面的定义，假设在 A 点有 N0中子，在中子行进 dx 的距离，发生作用的概率为( )ix dx，因此中子数的减少为：( )idNNx dx= 上式可化为：( )idNx dxN= 两边积分，即得到( )0BiAx dxBNN e= 故相应的概率为：( )0BiAx dxBNpeN=证毕 （一）对于没有吸收的情况（一）对于没有吸收的情况 这种情况最简单，此时，如下图（摘自课件），在空间任意点，取该点为 坐标原点，建立坐标系，在该点处取一个面积微元，不妨将面积微元取在 xoy平面上，对于空间任意点 r处，取一体积元cosdVdAdl=，（注：教材上cosdVdAdl=是有问题的，一方面会引起体积元是负值的问题，另一方面，按照这种办法，课后我算过课本上的积分是，但是推导不出菲克定律，只有cosdVdAdl=才能推导出）与原点的直线距离为l， r处的中子通量密度为( ) r，该点的散射截面为( )sl，因此该点处小体积元内的碰撞数目为( ) ( )sldVr，先假定这些中子碰撞后散射是各向同性的，因此散射方向沿( , ) 方向上单位立体角内的中子数为：( ) 4sdV r由于散射截面是空间坐标的函数，这时根据前面证明的引理，这些中子在不经过碰撞直接到达 dA 面积元的概率为：0 ( )slu dupe=，故在 r处 dV 体积元内的中子对穿过 dA 面积微元的中子数的贡献为： 0( )( )( )cos4slu dusldNedAdl=r （1） 令函数0 ( )( )slg lu d u=，于是求微分，不难得出( )sdgl dl= ，而且不难看出，(0)0g=，对于()g ，一般而言，上式是发散的（对于不发散的情况后面会单独讨论） ， 因此，()g = +，对l积分， 上式即为所有散射方向沿( , ) 方向的体积元内中子的贡献。 为了对l积分，由于积分的贡献主要来自于l很小的项，此时对中子通量进行泰勒展开，保留到二级，有： (0,0,0)(0,0,0)( )(0,0,0)(0,0,0)sincossinsincoslxyz=+=+rr（2 ）然后，对l进行积分，由于(0,0,0)与(0,0,0)与l无关，故可提到积分号之前，分两项进行计算： 000( )( )1slu dug sl edledg+=(3) 000( )0( )( , )slu dugg sll edleldgeldgA +=(4) 注意，第二项是方向角( , ) 的函数，主要原因是在积分时，沿不同方向的0 ( )( )slg lu d u=的具体形式可能是不一样的。第二个积分是算不出来的，与散射截面随空间变化的具体函数关系有关。但无论如何是一个正值，而且有限。 此时，相应的( , ) 方向的中子的贡献为： (0,0,0)cos(0,0,0)( , )sincossinsincos4dAAxyz +(5) 然后，分别对2与2，因此，计算ZzzJJJ+=时，对ZJ的主要贡献是z 项。因此，作为一种近似，可以简单地认为： D=J （15） （五）（五）其他其他相关相关讨论讨论 最严格的中子数运理论应该是基于统计的观点，用( , , )ftr v表示中子通量的分布函数。这时，中子通量密度与流密度的定义分别是： ( , )( , , )( , )( , , )tvft dtft d= rr vvJ rvr vv（16） 其中：xyzddv dv dv=v 无缘时，可以利用玻尔兹曼方程讨论： ()ccffffffftttm=+ =+rvrvFvvv （17） 其中，cf t 是碰撞项，表示由于碰撞引起的分布函数的改变，通常用碰撞积分来表示，括号中表示迁移项，其中括号中的第二项fmvF一般情况下，可以认为是 0，因为中子不带电，外界也很难对它施加作用力，即： ()ccffffffttt=+ =rvrvvv （18） 当有源时，在右边加上源的贡献即可： ( , , )cfffSttt=+rvr v （19） 参考文献： 1、谢仲生著核反应堆物理分析，西安交通大学出版社、原子能出版社 2、核工程原理课件清华大学工程物理系 3、汪志诚著热力学统计物理，高等教育出版社