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第第1212章章 参数模型功率谱估计参数模型功率谱估计 12.1 平稳随机信号的参数模型12.2 AR模型的正则方程与参数计算12.3 AR模型谱估计的性质与阶次选择12.4 AR模型的稳定性与信号建模12.5 关于线性预测12.6 AR模型系数的求解算法12.7 MA模型12.8 ARMA模型12.9 Pisarenko谐波分解与MUSIC 算法12.1 平稳随机信号的参数模型经典谱估计:分辨率低(受窗函数长度的限制);方差性能不好;方差和分辨率之间的矛盾。对平稳信号建模:用于功率谱估计:提高分辨率,减小方差;也可用于信号的特征提取,预测,编码及数据压缩 等。步骤2由 的先验知识,如 ,估计 的参数:步骤1假定所研究的平稳过程 是由一白噪声 序列 激励一线性系统所产生的输出;从功率谱估计的角度,对平稳信号建模的步骤:即是对 建立的数学模型。参 数一旦上述系数被求出,则: 功率谱估计:随机信 号通过 LSI系 统的输 入输出 关系步骤3LSI系统的输入、输出关系:以上两式是LSI系统的时域表示,无论对确定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、输出是平稳随机信号(输入是白噪声)。差分方程卷积关系转移函数的两 种表示形式, 独立于信号。谱分解 的Z域 表示待辨识 的参数 。AR(AutoRegressive,自回归)模型若:并假定:全极点模型则:MA(MovingAverage,移动平均)模型若:则:全零点模型ARMA(Auto-Regressive Moving- Average,自回归移动平均) 模型极零模型 ARMA模型如果:不全 为零则:AR模型: 全极模型, 线性,用的最多,被研究的也最多,性能很好;MA模型:全零模型,看起来简单; 但是非线性;ARMA模型:极零模型,二者的综合。具体选用那一个模型,一是取决于 信号的特点,二是取决于信号处理任务 的需要,需区别对待。1 Kay S M, Marple S L. Spectrum Analysis : a modern Perspective. Proc. IEEE, 69(Nov):1380-1419,19812 Makhoul J. Linear Prediction: a tutorial review. Proc. IEEE, 62(April):561-580,19753 Kay S M. Modern Spectrum Estimation: Theory and Application. 19884 Marple S L. Digital Spectrum Analysis with Application. 1987 推荐如下参考文献:12.2 AR模型的正则方程与参数计算目标:找到已知参数和未知参数的关系,以便求解未知参数:已知参数:求解方法:由下面的差分方程入手:两边同乘 ,求均值未知参数:和 的互相关因果 系统卷积 关系结果1:结果2:结合 起来正则方程 (Normal Eq.)Toeplitz 自相关阵又称 Yule- Walker 方程利用Yule-Walker 方程,可求解出AR模型参数:于是模型可以构造,可以实现功率谱估计。提法:设 在 时刻之前的 个数据已知 现在希望用它们预测为了深入了解AR模型的特点,现探 讨另外一个问题,即线性预测问题:线性预测误差序列均方误差令:可以得到使 最小的 及 。不求导,使用正交原理:Wiener-Hopf Eq.:最小 预测误差功率线性预测的Wiener-Hopf Eq.注意到:对同一信号 ,都使用其 得到了两组方程:来自AR模型:Yule-Walk 方程来自LP:Wiener-Hopf 方程结论:对同一信号,二者是相同的,即一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器,反之亦然。并且:由于所以等效的概念 应等于AR模型激励白噪声的功率 。 由LP的含意,因此AR模型也可以看作是在最小平方意义上对数的拟合;上面等效的含意是: 由于LP包含了对数据的外推,因此,对应的谱估计所用数据的范围比实际的应有扩展,因此可以提高分辨率。 线性预测器的误差序列等效于激励AR模型的白噪声序列;AR模型白化滤 波器线性预 测器Yule-Walker 方程的快速计算Levinson-Durbin快速算法: 反射 系数要求解的参数:思路:利用Toeplitz 矩阵特点,由低阶 高阶零阶预 测器的 误差等 于信号 的功率递 推 公 式递推过程中,要始终保持:P 阶AR模型(LP)有三组参数:可互相导出,请给出它们互相导出的公式。都是 p+1 个AR模型基于AR模型谱估计的实现:由 估计步骤1步骤2解Yule-walker方程,得估计的模型参数步骤3尚需离 散化离散谱,用FFT计算实际计算:12.3 AR模型谱估计的性质1. AR谱的平滑特性AR模型是一 有理分式, 估计出的谱 平滑,不需 要像周期图 那样再做平 滑或平均, 因此,不需 要为此去牺 牲分辨率。2. AR谱的分辨率经典谱估计:假定:分辨率反比于 N ,即对间接法:分辨率还 要降低AR模型包含了对 的“预测”或“外推”。实 际上,这包含着自相关函数的“外推”。令:AR谱AR谱对应的自相 关函数 可以证明:AR模型自 相关函数 匹配性质证明:由两边做DTFT反变换:左边右边有:上式等效于Yule-Walker 方程,对同样的模型 系数 ,因此必有当 时,可以用下式外推:外推后的 对应AR谱,因此AR谱有较 高的分辨率。而经典谱估计中无外推,即: 分辨 率低注意到AR模型自相关函数的匹配:设想:如果阶次 , 则AR谱对应的自相关函 数完全等于信号的自相关函数,AR谱等于真谱。(b) p=10; (c) p=20; (d) p=30最大熵谱估计: Burg 于 1975年博士论文。Maximum Entropy Spectral Estimation,MESE)关于熵:设信源由 这 M 个 事件组成:产生 的概率是 的信息量:对数以e为底对数以2为底奈特(nat)比特(bit)单位离散型随 机变量连续型随机变量熵Burg最大熵谱估计的思路是:已知某随机信号自相关函数 的 个值,现希望以这 个值对的自相关函数予以外推。外推的方法很多 ,Burg的准则是:外推后的自相关函数对应的 时间序列具有最大的熵,即是最随机的。最大熵功率谱保证: 的递推方法很多。所以很多说明了自相互函 数的外推特点原则: 是所有各种可能外推所对应的时间序 列中最随机的,即含有最大信息量(熵)。再假 定 是高斯的。在这三个条件制约下,有:3. AR模型谱的匹配性质P 阶 线性 预测从LSI系统输 入、输出关系若用AR谱去匹配信号的谱,则误差系列的谱应 由常数谱来匹配,体现 的白化性质。从AR模型和 LP等效关系p 阶AR 模型给定平稳信号 的功率谱,希望用一模型的谱来 匹配它,匹配的原则是使二者比值的积分最小。令 相对 中的参数 最小可得到最佳 Yule-Walker Eq的又一解释:当有:的真 实功率谱AR谱AR模型自 相关函数 匹配性质所以,理论上:我们可用一个全极点模型来近似已知谱 ,达到任意精度。由:增加 ,等效地扩大了 相等的部分在 内紧随(1)全局跟随性质(global)因为均值为1,所以 在 上下波动(2)局部跟随性质(local)总效果: 紧随 的峰值从对整个 积分的贡 献来考虑情况多情况少紧跟 谱的峰值4. AR谱的统计性质AR谱估计的方差反比于 的长度N和SNRAR谱变为ARMA谱, 既有极点,又有零点, 分辨率会有下降。5. AR谱估计的不足若 的SNR不高,那么 可看作区别AR 模型阶次p的选择Levinson递推给出:(1)最终预测误差准则(2)信息论准则递减、恒正p12.4 AR模型的稳定性为什么有稳定性问题?式中自相关函数是估计出的,由解出:始终是稳定的能否保证取决于 R 的性质第10章已证明:若 正定,则求出的 保证的根都在单位圆内,且唯一。AR模型的最小相位性质结论1由线性方程组的克莱姆法则, 必 然是唯一的。关键是证明其最小相位性质。对 阶模型,预测误差功率 应为最小。 若 有一零点在单位圆外,将其反射到单位圆 内,如果 进一步减小。这就说明原来的 不是最佳的。也即,只有最小相位的 才 能构成最优的 阶线性预测器。证明:令:代入:式中:所以整个积分不为零。由此, 不是最佳 的 阶预测器。将:则:令:但是:若 由 个复正弦组成,即则:矩阵 奇异我们证明过 是非负定的,但结论1要求 是正定的。 何时 ,何时结论2纯线谱证明:标量 情况 向量 情况假定:有非零解:则:又:必有第一点得证由线性方程组理论,必有:必不全为零,有非零解请自己证明即:第二点:若 由 个正弦组成, 又称纯谐波过程,则 是完全可预测的,即可以做到:结论 2 和 3 对信号建模有着重要的指导作用。 对 个复正弦,其自相关矩阵的秩为 , 因此模型的阶次最大只能为 ,否则, 将出现矩阵奇异的现象,当然,所求出的模型 是不稳定的。对纯正弦建模时,一般要人为的 加入一些噪声,防止自相关阵奇异。结论3关于信号建模本质的讨论用白噪声 激励一个线性系统,真的能产生我们所研究的随机信号或者:并没讨论过时域信号的匹配性质,即:我们介绍过AR模型的:(1)自相关函数的匹配性质:(2)功率谱的匹配性质实际上,我们无法要求:因此,我们讨论过的信号建模是在二阶统计意义上的建模,要求的是自相关函数和功率谱这些二阶统计量的匹配。而只能做到:定义:若平稳过程 存在 阶模型,使得模型的输出 和 在 阶统计意义上一致,则称 可在 阶统计意义上准确建模。是 在 阶统计意义上准确模型; 即是自相关和功率谱匹配;做谱分解,可得 ,但由于 失去相位 信息,所以模型无穷多若 已知,由 实际上,我们可以在其它阶次的统计量上建模。阶次大于 2 的谱称为“多谱(Polyspectrum)。三阶谱定义为:三
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