杨磊 一元一次不等式与一次函数 北师大版数学实验教科书 教材分析学情分析目标与重难点学案设计与运用本节是义务教育课程实验教科书（北师大版 ）八年级（下册）第一章一元一次不等式和一 元一次不等式组第五节的内容。函数、方程、 不等式都是刻画现实世界中量于量之间变化规律 的重要模型。本节内容是在学生学习一次函数、 一元一次不等式后，再从函数的角度对一元一次 不等式重新进行分析，渗透三者之间的内在联系 ,利用函数与不等式的结合，提高应用函数知识 分析、解决实际数学问题的能力。它不是简单的 回顾复习，而是居高临下的进行动态分析，运用 数形结合思想，帮助学生从整体上认识不等式。 一、教材分析v知识技能基础：本节课是学生已经在八年级上册学 习了一次函数，以及本期学习了一元一次不等式后 的新内容。v认知水平：在相关知识的学习过程中，学生已经能 通过数学知识解决一些简单的实际问题，具有一定 的合作学习与交流的能力，探索欲望强但探索效率 不高。v思维水平：八年级学生的思维已逐步从直观的形象 思维为主向抽象的逻辑思维过渡，而且具备一定的 信息收集的能力。但由于我班学生存在比较严重的两极分化，且整体水 平较低，因此，学案的编写以及课堂中运用学案教学 都面向中差生。只设置一定拔高题针对优生。 二、学情分析教学目标: 1、知识与技能目标: 利用一次函数图象解一元一次不等式及相关应用问题 。 2、过程与方法目标: 通过观察、比较，分析一次函数与一元一次不等式（ 或方程）的内在联系，体会数形结合的思想。 3、情感与态度目标: 在探索一次函数与一元一次不等式关系的过程中，通 过讨论、交流，培养同伴间的合作学习，获得成功体验 。三、教学目标、重难点v教学重点：通过观察一次函数图象，利用图 象解一元一次不等式。v教学难点：根据题意列函数关系式，运用数 形结合思想，利用图象解决实际问题。四、学案的设计及运用由于利用“学案”进行导学讲评式教学，使学生进行有效的 自主学习、探究，学生成为学习的主人,成为教学的主体，教师 必须在二度消化教材和对自己所教学生的认知水平与知识经验 进行认真分析的基础上，合理地处理教材，并将学法指导有机 融入到学习的各个环节中.一节教学内容的完成，依赖于三个环 节的良好结合，课前自学、课堂学习、课后复习。针对我班学 生的水平和本节课的内容，对学案的运用是，学习准备、解读 教材要求学生课前完成，挖掘教材作为难点由师生共同在课堂 上完成，达标测评作为课后作业。在课堂上渗透数形结合的思 想。 学案编写目的在于引导学生自学，但不表示教师完全不讲， 实际上对教师的讲解要求更高了，在每一个学习环节中，教师 都可提出更有挑战性的问题，引导学生深入思考，强调易错的 地方，在重难点处教师适当精讲。学习过程设计一、学习准备1、一次函数y=kx+b(k0) 的图图象是 。 在作一次函数图图象时时，需描两个点，一般描点A （0， ）和B（ ，0） 2、对对于一次函数y=3x+1， 当3x+10时时，y 0； 当3x+1= 0时时，y 0； 当3x+10时时，y 0。 3、解不等式：（1）2x50； （2）2x5 0； 解方程：（3）2x5=0， 还还有其它方法解上面三个式子吗吗？学案的运用“学习准备”是学生在课 前完成的内容。 请个别学生口答，集体纠 错。提问:（2）可否不找 坐标轴上两点而另取两点？ 教师提问：（1）一 次函数图像是怎样作 的？前两个小题为一次 函数的填空题，第 三小题解方程和一 元一次不等式设计目的与意图通过复习一次函数图 象的作法，以及一元一次 不等式和一元一次方程的 解法为接下来将一元一次 不等式与一次函数的关系 这个新知，顺利纳入学生 已有的旧知识中做准备学习过程设计二、解读读教材 已知一次函数y=2x5的图图象： （1）观观察图图象： 函数图图象与y轴轴交点A （0， ） 函数图图象与x轴轴交点B（ ，0） （2）在图图象中用不同颜颜色笔标标出y0， y=0，y0的直线线部分。 根据图图象填空。 2x50，即y0的图图象在x轴轴的 方此 时时x 。 2x50，即y0的图图象在x轴轴的 方（ 填上方或下方），此时时x 。 2x5=0，即y=0，此时时x= 。学案的运用学生回答，并请学生上黑 板讲解第二小题教师纠错教师点拨：在x轴上 方的图象上的点的纵 坐标都为正数，即y 0设计目的与意图 该部分内容是重点“根据一次 函数图象解一元一次不等式。 ”但是内容比较简单，加之通 过学案中对教材的解读，大部 分学生都能在课前完成，教师 的点拨旨在强调重点，使学生 思路更加清晰。 请学生讲解，为学生提供竞争 和表现的舞台，激发学生的学 习兴趣。 教师引导学生观察、总结，渗 透数形结合思想，突破重点。第（1）题引导学生观 察一次函数图象 第（2）题在观察图象 的基础上解读图象学习过程设计2、即时练习 若y=-2x-5，当x取何值 时，y0，请作出图象， 根据图象解答。 3、变式练习 再观察图1，问，x取何 值时, 2x5 3?学案的运用通过前面的学习，学生检 查课前完成是否正确，可 能会有一部分学生课前无 法完成，此处留出时间完 成，订正。教师启发:2x5 3即y 3设计目的与意图通过练习，对本节课重点 知识的掌握及时测评。通过设计更深层次的问题 ，引导学生去深入地研读 教材，开展探究性学习， 培养学生的归纳发现能力 学习过程设计三、挖掘教材 1、已知在同一坐标系上 有一次函数y1=x1 和y2=x的图像。 观察图像，回答问题。 1. y1=x1和y2=x的 交点坐标为（ ， ） 2. 当x取何值时，y1 y2？学案的运用在教师引导下读题，解答 ，学生归纳，总结。教师点评：本题关键 在于找到两个函数图 象交点的横坐标。 该题为同一坐标系 上两个一次函 数图象。 图象已给出，学生 只需观察后给 出答案。设计目的与意图根据我班学生的水平，我 对教材进行了适当的增删 。本节课难点在于根据题 意列出函数关系式，并利 用同一坐标系上的两个一 次函数图象解一元一次不 等式。但本班学生基础较 差，在这里补充设置该题 ，为接下来的应用题作铺 垫。学习过程设计2.兄弟俩赛俩赛 跑，哥先让让弟跑9m，然后自己 开始跑，弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m 分析：设设哥哥起跑后所用的时间为时间为 x，哥 哥跑过过的距离为为y1，弟弟跑过过的距离为为y2 ，请请列出哥哥、弟弟每人所跑的距离y与 时间时间 x的之间间的函数关系式。 y1= y2= 将两个一次函数图图象在同一坐标标系上作出 来。观观察图图象回答：哥哥刚刚好追上弟弟 ，即y1 y2，此时时x= ；弟弟跑在哥哥前面即y1 y2，此时时x= ；哥哥跑在弟弟前面，即y1 y2，此时时x= 学案的运用学生4人一个小组讨论 再请小组代表在全班交流 教师最后精讲。教师提问：兄弟俩谁 跑在前， 是看横坐 标（即x的值）还看纵 坐标（即y的值）？教师精讲： 兄弟俩谁跑在前，关 键是要知道哥哥在何 时追上弟弟。教材P18的“做一做” 。学案中将教材中的 4个问题分解成填空 题。首先要求学生列 出函数关系式，作出 两个一次函数图象， 再解答设计目的与意图该内容为教材的难点，通 过学生讨论，请小组代表 交流，达到学生合作，师 生互动的效果，突破难点 ，培养学生合作学习的能 力。反思拓展1、本节课学习了什么内 容？ 2、（1）利用一个一次 函数图象解一元一 次不等式和方程 （2）利用同一坐标系上 的两个一次函数图 象解一元一次不等 式和方程 两种题型你会了吗？ 请总结方法。 设计目的与意图反思是学习的重要环节。 反思自己学习中的得与失 ；建构知识网络，完善认 知结构；反思某些数学问 题解决的过程与方法，积 累数学活动经验。 达标测评1、若y1=x+1，y2=5x1，问当x取何值时，y1 y2，尝试两种方式解决。请与同桌交流你的做法。2、若y=x-2，当y2时，x取何值，请结合图象 回答。3 、某车间有20名工人，每人每天加工甲种零件5 个或乙种零件4个，在这20个工人中，派x个人加工 甲种零件，其余的加工乙种零件，已知每加工1个甲 种零件可获利16元，每加工1个乙种零件可获利24元 （1）写出该车间每天所获利润y（元）与x（人）之 间的函数关系式 （2）若要使该车间每天获利不低于1800元，问至少 要派多少人加工乙种零件？资源链接v中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组 ）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何，立体几何 ；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 v数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用 大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即 以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者 是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作 为目的。v恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合 就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其 几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起 ，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解 决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。教学反思v本节课在利用同一坐标系上两个一次函数解一元一 次不等式部分花较多的时间。目的在于让学生有充 分的思考空间与时间观察图像，进行探索。v注意让学生暴露在解决问题过程中所遇到的困难。