1 常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(yxf dxdy中的二元函数),(yxf可表示为)()(),(yhxgyxf的形式，我们称)()(yhxg dxdy为可分离变量的方程。对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dxxg yhdy)()(的形式，再对此式两边积分得到Cdxxg yhdy)( )(从而解出)()(yhxg dxdy的解，其中C为任意常数。具体例子可参考书本P10P11 的例题。一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如 果 一 阶 微 分 方 程),(yxf dxdy中 的 二 元 函 数),(yxf可 表 示 为yxPxQyxf)()(),(的形式，我们称由此形成的微分方程)()(xQyxPdxdy为一阶线性微分方程，特别地，当0)(xQ时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(yxP dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到dxxP Cey)( ，其中 C为任意常数。这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(xC来替换C，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如dxxPexCy)()(的解。将其代入)()(xQyxPdxdy我们就可得 到)()()()()()()()()(xQexCxPexCxPexCdxxPdxxPdxxP这 其 实 也 就 是dxxPexQxC)()()(，再对其两边积分得CdxexQxCdxxP)()()(，于是将其回代入dxxPexCy)()(即得一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy的通解CdxexQeydxxPdxxP)()( )(。具体例子可参照书本P16P17 的例题。2 一阶齐次型微分方程（变量代换）如果一阶微分方程),(yxf dxdy中的二元函数),(yxf满足对于一切非零实数t都有等式),(),(yxftytxf成立，我们称一阶微分方程),(yxf dxdy为一阶齐次型微分方程。对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。事实上，如果我们令 xt1于是)(), 1(),(xyxyfyxf。于是一阶齐次型微分方程),(yxfdxdy可表示为)(xydxdy然后令xyu将其化为一阶可分离变量微分方程。具体过 程 如 下 ： 令 dxduxudxdyxuyxyu,，则， 代 入 方 程)(xydxdy可 得)(udxduxu也就是xuudxdu)(， 它的通解是易求得的， 求出它的通解之后将 xyu回代就可得到一阶齐次型微分方程),(yxf dxdy的通解。当然，有时候我们令 yt1于是)()1 ,(),(xyxyfyxf。于是一阶齐次型微分方程),(yxfdxdy可表示为)( yxdxdy也就是 ） yxdydx(1此时令 dydvyvdydxyxv，则，代入方程 ） yxdydx(1可得)(1vdydvyv然后再依次求解。有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。具体例子可参看书本P20P22 的例题。 伯努利方程（变量代换）如 果 一 阶 微 分 方 程),(yxf dxdy中 的 二 元 函 数),(yxf满 足 等 式) 1 ,0( ,)()(),(nyxPyxQyxf n，我们就称由此形成的微分方程)1 ,0( ,)()(nyxQyxPdxdyn为伯努利方程。对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。我们可 以 在 方 程)1 ,0( ,)()(nyxQyxP dxdyn两 边 同 除 以ny， 可 以 将 方 程 变 形 为)()(1xQyxPdxdyynn即)()()(1111 xQyxPdxydnnn 。我们令nyz1，于是方3 程即)()1()()1(xQnzxPn dxdz利用一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy的通解CdxexQeydxxPdxxP)()()(可得)()1 ()()1 (xQnzxPndxdz的通解，再将nyz1回代就得到了伯努利方程) 1 ,0( ,)()(nyxQyxP dxdyn的通解。具体例子可参照书本P22P23 的例题。 变量代换方法的应用 -其他类型的齐次微分方程形如 ybxabyaxfdxdy11的方程也是齐次方程。对于这种类型的方程通过简单的代换就可 以 化 为 一 阶 齐 次 型 微 分 方 程 来 进 行 求 解 。 我 们 讨 论 更 一 般 的 情 形 ， 对 于 形 如111cybxacbyaxfdxdy的齐次方程， 我们令yx,， 其中,为待定常数，可得11111cbabacbabafdxdy， 可以选取适当的,使得 00111cbacba当011baab时 ，,有 唯 一 解 ， 可 以 化 上 面 的 方 程 为 齐 次 方 程11babafdd， 求 解 此 方 程 ， 并 将yx,代 回 就 得 到 齐 次 方 程111cybxacbyaxfdxdy的解。当011baab时要分两种情况讨论。情况一：若01b，则kbbaa11。原方程可以化为11111)(cybxacybxakfdxdy。令,11ybxaz则)(1 1 1xazby得到变量可分离的方程11 11czckxfadxdzb，然后按照相应的解法即可求解。情 况 二 ： 若01b， 则ba 与1中 至 少 有 一 个 为0. 当0b时 ， 原 方 程 为11cxacaxfdxdy是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。当0b时，可以令adxdzbdxdybyaxz1,，原方程就变为了adxdzb111cxaczf这是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。具体例子可参看书本P24P25 的例题。4 2. 可降阶的高阶微分方程部分（主要讨论二阶微分方程） 形如)()(xfyn的微分方程对于形如)()(xfyn的微分方程，我们可以连续对等式两边积分n 次便可以求得其含有 n 个任意常数的通解为nnnnCnxC nxCdxxfy.)!2()!1()(2 21 1个积分符号。具体例子可参看书本P28例题。形如),(yxfy的微分方程一般二阶微分方程可以表示为),(yyxgy，当 因变量y不显含时形成了如),(yxfy的不显含因变量y的二阶微分方程。我们可以通过变量代换来进行降阶。我们令 dxdpyyp,，于是方程可化为),(pxfdxdp，这是一个以p为未知函数，以x为自变量的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为),(1Cxp，则),(1Cxdxdy。两边积分就得到原方程的通解为21),(CdxCxy。其中21,CC为任意常数。具体可参看书本P28P30例题（注意例4！ ！ ）形如),(yyfy的微分方程与不显含因变量y的二阶微分方程的定义类似，我们把形如),(yyfy的微分方程称为不含自变量x的二阶微分方程。我们仍然通过变量代换来求解此类方程。我们令dydppdxdydydpdxdpyyp,，于是方程可化为),(pyfdydpp，这是一个关于yp,的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为),(1Cyp，则由dxdyyp可得dxCydy),(1，两边积分就得到原方程的通解为2 1),(CxCydy。其中21,CC为任意常数。具体例子可参看书本P32P34 例题。注：在可降阶的微分方程求解问题中，在消去所设的变元如p时我们一定要注意是否会丢失0p的解。5 3. 线性微分方程在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。我们直接介绍n阶线性微分方程)()()(.)(1)1( 1)(xfyxayxayxaynnnn的解的结构与性质。对于区间,ba上的n个函数)(.)()()(321xyxyxyxyn、，若存在n个不全为0的常数nkkkk、.321使得在,ba上有0)(1niiixyk，我们就称这n个函数在区间,ba上是线性相关的，否则就是线性无关的。此外对于n阶线性微分方程)()()(.)(1)1( 1)(xfyxayxayxaynnnn的系数)()(.)()(121xaxaxaxann、都为常数是我们称该方程为n阶线性常系数方程， 否则为n阶线性变系数方程。进一步细分，对于自由项)(xf，若0)(xf就称原方程为n阶线性齐次方程，否则为n阶线性非齐次方程。若函数)(.)()()(321xyxyxyxyn、是n阶线性齐次方程的n个线性无关的特解，则)(.)()(2211xyCxyCxyCynn为n阶线性齐次方程的通解。若函数)(.)()()(321xyxyxyxyn、是n阶线性非齐次方程的n个线性无关的特解 ， 此 外 函 数)(xyp是n阶 线 性 非 齐 次 方 程 的1个 线 性 无 关 的 特 解 ， 则)(.)()()(2211xyCxyCxyCxyynnp为n阶线性齐次方程的通解。 二阶常系数齐次线性微分方程我们把形如ypyqy 0 的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程其中 p、 q均为常数我们知道如果y1、 y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么y C1y1C2y2就是它的通解现在先尝试能否适当选取r使 y erx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将 y erx代入方程ypyqy 0 得(r2pr q)erx0由此可见只要 r 满足代数方程 r2pr q 0函数 y erx就是微分方程的解接下来介绍一般的解法，我们把方程r2pr q 0 叫做微分方程ypyqy 0 的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式 2422, 1qppr求出6 特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数xrey11、xrey22是方程的两个线性无关的解这是因为函数xrey11、xrey22是方程的解又xrr xrxr eee yy)(212121 不是常数因此方程的通解为xrxreCeCy21 21(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时函数xrey11、xrxey12是二阶常系数齐次线性微 分 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 解这 是 因 为xrey11是 方 程 的 解又xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1 ()2()()()(12 110)()2(12 1111qprrxeprexrxr所 以xrxey12也 是 方 程 的 解且xexe yy xrxr1112不 是 常 数因 此 方 程 的 通 解 为xrxrxrexCCxeCeCy111)(2121(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时函数 y e(i )x、 y e(i )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数 y excos x、 y exsin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数 y1e(i )x和 y2e(i )x都是方程的解而由欧拉公式得y1e(i )xex(cos x isin x)y2e(i )xex(cos x isin x)y1y22excos x)(21cos21yyxexy1y22iexsin x)(21sin21yyixex故 excos x、y 2exsin x 也是方程解可以验证y1excos x、y 2exsin x 是方程的线性无关解因此方程的通解为y ex(C 1cos x C2sin x )求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy 0 的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方r2pr q 0 第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解二阶线性常系数非齐次方程我们把形如ypyqy f(x)的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中 p、q 是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解