1 “画龙点睛”数学专题讲解（六）： 泰勒公式的应用 “画龙点睛”数学专题讲解（六）： 泰勒公式的应用 泰勒公式有广泛的应用，极限的计算、不等式的证明、近似计算和误差估计，它是考研的一大热点但是近年考研大纲已经将“近似计算和误差估计” 的有关要求全部删除了， 现在只剩下极限计算和不等式证明了。请考生注意。 泰勒公式有广泛的应用，极限的计算、不等式的证明、近似计算和误差估计，它是考研的一大热点但是近年考研大纲已经将“近似计算和误差估计” 的有关要求全部删除了， 现在只剩下极限计算和不等式证明了。请考生注意。 在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点： 1展开的基点； 2展开的阶数； 3余项的形式 其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不 等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式而基点和阶数，要根据具体的问题 来确定 【声明】资料整理改编自龚成通。 在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点： 1展开的基点； 2展开的阶数； 3余项的形式 其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不 等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式而基点和阶数，要根据具体的问题 来确定 【声明】资料整理改编自龚成通。 【例 1】【例 1】求极限)3(211ln3)76(sin6lim 2202xxxxxxxexx； 【分析】【分析】本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法 则，而且导数越求越复杂 用泰勒公式就会方便得多 基点当然取在0x点， 余项形式也应该肯定是皮亚诺余项 问题是展开的阶数是几？一般是这样考虑：逐阶展开，展开一项，消去一项，直到消不去为 止 首先将分子上函数xxsin6e2进行展开，为此写出2ex和xsin的泰勒展开式2ex的第一项是 1，xsin的第一项是x，所以xxsin6e2的第一项是x6，与后面的x6消去了再将它们展开一项，得到xxsin6e2的前两项是376xx ，所以还要将它们再展开一项 对于分母也是一样 【解】【解】)(! 211e5422xoxxx，)(! 51 ! 31sin653xoxxxx ， 2 )(4027 67sine5532xoxxxxx， )(51 41 31 21)1ln(55432xoxxxxxx ， )(51 41 31 21)1ln(55432xoxxxxxx ， )(52 322)1ln()1ln(11ln553xoxxxxxxx， 原式)(56)(4027lim 55550xoxxoxx 169 【例 2】【例 2】求极限xxxxxxxx1cos2212)11(lim 22222 【解析】【解析】本题与上题一样，如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也是能计算的，但必须 要用四次洛必达法则，而且导数会越求越复杂 为了方便地使用泰勒公式可以先做换元xt1 （倒数置换法） 【解】【解】原式xt1 tttttcos22211lim2220)(! 41 ! 211 222)(81 211 )(81 211 lim 44224424420tottttotttottt 3 )(121)(41lim 44440 tottott 【例 3】【例 3】若100)(lim xf x，且0)(lim xf x，试证明0)(lim xf x 3 【分析】【分析】由题意可知函数)(xf在无穷远点的某个左邻域即),(a内有二阶导数，在题意中没给出更高阶的导数是否存在的条件，就不能用了 这里的极限问题的趋限过程不像上面的是趋向于 0 或者可以转化为趋向于 0，所以，余 项的形式也不能取皮亚诺余项的形式了 所以要展开泰勒公式， 只能展开到一阶为止， 把二阶导数作为拉格朗日余项表达式的需 要 由于最后要证明（计算）的是0)(lim xf x，所以展开的基点只能取x，而2)(! 2)()()()(xfxxfxfxxf 中的x应该取一个常数，例如就取1x 【解】【解】写出函数) 1( xf在基点x处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，! 2)()()() 1(fxfxfxf ，1xx，所以有! 2)()() 1()(fxfxfxf ， 在此等式两边同时取x时的极限，其中100)(lim) 1(lim xfxf xx， 由1xx可知在x时有，0)(lim)(lim ff x， 所以有 00100100! 2)(lim)(lim) 1(lim)(lim fxfxfxf xxxx， 【例 4】【例 4】 设)(xf在 1,0上具有二阶导数， 且满足条件axf)(，bxf )(， 其中a、b为非负常数证明对任意) 1,0(x，有22)(baxf 【分析】【分析】一般给出条件中函数)(xf有二阶导数，则可用以二阶导数作为余项的一阶泰勒公式来证明， 展开基点的选定可综合考察题目所给定条件及所需证之结论， 这里为便于将结论中的)(xf表示出来，可将基点选取在) 1,0(内任意取定的x点处【证明】【证明】)(xf在 1,0上具有二阶导数，则由泰勒展开式得4 2)(!2)()()()(xufxuxfxfuf ，在x与u之间分别令0u，1u得 21)(!2)()()()0(xfxxfxff ，101x，22)1 (!2)()1)()() 1 (xfxxfxff ，102x，两式相减，得 )()1)(21)0() 1 ()(2 12 2xfxfffxf ， 于是 2 12 2| )(|21)1 ( | )(|21| )0(| ) 1 (| )(|xfxfffxf )1(2122xxbaa ， 由于在10 x时，有1)1 (22xx，所以22)(baxf