苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习1一、填空题1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba” ；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc” ；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)” ；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax” ；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|” ；“ ”类比得到“ ” acbcabacbcab以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是_解析：只有正确，其余错误答案：22请阅读下列材料：若两个正实数 a1，a2满足 a a 1，那么 a1a2.2 12 22证明：构造函数 f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因为对一切实数x，恒有 f(x)0，所以 0，从而得 4(a1a2)280，所以 a1a2.2根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 a a a 1 时，你能得到的结2 12 22 n论为_(不必证明)解析：设 g(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1，g(x)0 对 xR 恒成立，4(a1a2an)24n0，a1a2an.n答案：a1a2ann3如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，如此类推设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 an，则 a6_；_.1a31a41a51a99苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习2解析：ann(n1)，a66742.1a31a41a9913 414 5199 100 .13141415199110013110097300答案：42 973004对于等差数列an，有如下命题：“若an是等差数列，a10，s、t 是互不相等的正整数，则有(s1)at(t1)as” 类比此命题，给出等比数列bn相应的一个正确命题：“_.”答案：若bn是等比数列，b11，s，t 是互不相等的正整数，则有 bbs1tt1s5如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为(n2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如1n ， ， ，则第 7 行第 4 个数(从左往右数)为1112121213161314112_苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习3解析：由“第 n 行有 n 个数且两端的数均为 ”可知，第 7 行第 1 个数为 ，由1n17“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第 7 行第 2 个数为 1617，同理易知，第 7 行第 3 个数为，第 7 行第 4 个数为14213014211051601105.1140答案：11406观察下列等式：324252，102112122132142，212222232242252262272，362372382392402412422432442，由此得到第 n(nN*)个等式为_解析：由归纳推理直接写出即可答案：(2n2n)2(2n2n1)2(2n2nn)2(2n22n1)2(2n22n2)2(2n22nn)27两点等分单位圆时，有相应正确关系为 sin sin()0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为 sin sin()s in()0.由此可以推知：四2343点等分单位圆时的相应正确关系为_解析：类比推理可知，四点等分单位圆时， 与 的终边互为反向延长线， 与 的终边互为反向延长线，如232图答案：sin sin( )sin()sin()02328已知结论：“在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，G 是三角形 ABC苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习4的重心，则2” 若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四AGGD面体 ABCD 中，若BCD 的中心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等” ，则_.AOOM解析：由题知，O 为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为 h，由等体积法可求内切球半径为 h，外接球半径为 h，所以3.1434AOOM答案：39.正方形 ABCD 的边长是 a，依次连结正方形 ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示现有一只小虫从 A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了 10 条线段则这 10 条线段的长度的平方和是_解析：由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为 a ( a)2 a2，第二段2 11214长度的平方为 a (a)2 a2，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可2 22418以构成以 a a2为首项， 为公比的等比数列，所以数列的前 10 项和为 S102 11412a2.14a2112101121 0232 048答案：a21 0232 048二、解答题10通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习5sin230sin290sin2150 ；32sin260sin2120sin2180 ；32sin245sin2105sin2165 ；32sin215sin275sin2135 .32解析：猜想：sin2( )sin2sin2( ) .3332证明：左(sin cos cos sin )2sin2(sin cos cos sin )23333 (sin2cos2) 右，待证式成立323211圆 x2y2R2(R0)上任一点 P(不在 x 轴上)，与圆上两点 A (R,0)，B(R,0)的连线 PA，PB 的斜率 kPA，kPB有下面的等式成立：kPAkPB1，类比这个命题，写出椭圆1(ab0)中对应的命题，并加以证明x2a2y2b2解析：命题：对椭圆1(ab0)上任一点 P(不在 x 轴上)，与椭圆上两点x2a2y2b2A(a,0)，B(a,0)的连线 PA，PB 的斜率 kPA，kPB有下面的等式成立：kPAkPB.b2a2证明：设 P(x，y)，则有1，kPA，kPB，kPAkPB(1).x2a2y2b2yxayxay2x2a2b2x2a2x2a2b2a212小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案，现按同样的方式构造图形，设第 n 个图形包含 f(n)个“福娃迎迎” (1)试写出 f(5)、f(6)的值；(2)归纳出 f(n1)与 f(n)之间的关系式，并求出 f(n)的表达式；苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习6(3)求证： .1f11f21f31fn32解析：(1)f(5)13579753141，f(6)13579119753161.(2)因为 f(2)f(1)314，f(3)f(2)538，f(4)f(3)7512，归纳得 f(n)f(n1)4(n1)，则 f(n1)f(n)4n.f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)4(n1)(n2)2112n22n1.(3)证明：当 k2 时， ( )则1fk12k22k112k22k121k11k1f11f21 (1 )( )( )1 (1 )1 .1f31fn121212131n11n121n1232