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1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简之前我们所讨论的n变量逻辑函 数的特点是:对于任何一组输入变 量的取值组合,函数都有唯一确定 的值与之相当对应,这是一种完全 描述的逻辑函数。还有一种非完全描述的逻辑函 数,又称为具有约束的逻辑函数。一、 约束的概念和约束条件(1) 约束:指输入变量取值之间相互制约的关系。1. 约束、约束项、约束条件例:为庆祝三八妇女节,某单位为女职工包场了专 场电影,检票处本单位女职工凭票入场。试分析此 逻辑问题。分析:设A=0-外单位职工; A=1-本单位职工B=0-男职工;B=1-女职工C=0-无票; C=1-有票Y=0-禁止入场;Y=1-允许入场 A B CY说说明0 0 000 0 1不可能0 1 00 0 1 1不可能1 0 001 0 1不可能1 1 001 1 11因前提是电影票只发给本单位的女职工,故001、011、101 这三种组合不可能出现-A、B、C之间存在制约关系。(2) 约束项:不会出现的变量取值所对应的最小项。上例中,变量A、B、C是一组有约束的变量。由有约束的变量所决定的逻辑函数称为具 有约束的逻辑函数。上例中,因 001、011、101不会出现,故是函数Y的三个约束项。约束项性质:最小项性质-当对应变量取值 组合出现时,其值为1,否则为0;约束项所对应的变量取值组合是不会出现 的或禁止出现的,因而约束项的值恒等于0。(3) 约束条件: 在逻辑表达式中,用等于 0 的条件等式表示。由约束项相加所构成的逻辑表达式。约束项:约束条件:或2. 约束条件的表示方法例如,上例中 ABC 的不可能取值为001、011、101在真值表和卡诺图上用叉号()表示。A B CY0 0 000 0 10 1 00 0 1 11 0 001 0 11 1 001 1 11ABC00001 11 10100100二、 具有约束的逻辑函数的化简化简具有约束的逻辑函数时,如果充分利用约 束条件,可以使表达式大大简化。1. 约束条件在化简中的应用(1) 在公式法中的应用:可以根据需要加上或去掉约束项而使结果简化。例上例中,若不考虑约束条件,则 Y = ABC-逻辑意义?现加上约束条件本单位的女 职工可入场当函数较复杂时,公式法不易判断出哪些 约束项应该加上,哪些应该去掉。则:-逻辑意义?只 验 票 不 看 人利用约束条件化简逻辑函数时,必须遵循 逻辑条件,否则可能会出现逻辑错误。(2) 在图形法中的应用:根据需要,在画包围圈时包含或去掉约束项,可 使函数最简。例化简函数 Y = ABC,约束条件解 画出三变量函数的卡诺图ABC010001 11 10 先填最小项,再填约束 项,其余填 0 或不填。1000 利用约束项合并最小 项,使包围圈更大。 写出最简与或式包围圈中含有约束项 ,相当于在最小项“1” 中加入了“0”,因而函 数不会受到影响。02. 变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中,只要有一个变量取值为 1,则其 他变量的值就一定是 0,称之为互相排斥的变量 。ABC010001 11 101011例 函数 Y 的变量 A、B、C 是互相排斥的,试用图 形法求出 Y 的最简与或表达式。解 由题意: 约束条件不 能 忘 记 了 !例1 化简逻辑函数化简步骤: 画函数卡诺图:ABCD00 01 11 1000 01 11 10先填 1 01 1100 00 0 0画圈合并最小项: 既可以当 1 ,又可以当 0 写出最简与或表达式:解三、 化简举例例2 化简逻辑函数约束条件解 画函数卡诺图ABCD00 01 11 1000 01 11 10 1111 合并最小项 写出最简与或表达式 及约束条件合并时,究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到 的包围圈最大且个数最少为原则。注意:应用举例:学校举行联欢会,要求:学生凭学生证 入场;教师凭工作证入场。试分析该逻辑关系。解 :设A=0-学生;A=1-教师B=0-无工作证;B=1-有工作证C=0-无学生证;C=1-有学生证Y=0-允许入场;Y=1-禁止入场可见,变量Y是关于有约束的变量 A、B、C的逻辑函数。逻 辑 约 定A B CY说说明0 0 000 0 110 1 0 不可能0 1 1不可能1 0 001 0 1不可能1 1 011 1 1 不可能ABC010001 11 100011逻辑意义:只要持有工作证或学生证即可入场 。前提:教师拥有学生证或学生拥有工作证是 不允许的。综上:凡是利用约束条件化简的逻辑表达式,必 须在约束条件成立的情况下才能真实完全地反应 所描述的逻辑,否则根据最简表达式作出的逻辑 判断就会出现逻辑错误。1.3 逻辑函数的表示方法及其相互转换1. 3. 1 几种表示逻辑函数的方法一、逻辑表达式用与、或、非等运算表示函数中各个变量 之间逻辑关系的代数式子,称为逻辑表达式。如:优点:书写简洁方便,易用公式和定理进行运算、变 换。 缺点:逻辑函数较复杂时,难以直接从变量取值看出 函数的值。二、真值表将变量的各种取值与相应的函数值,以 表格的形式一一列举出来。ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 1 1优点:直观明了,便于将实际逻 辑问题抽象成数学表达式。缺点:难以用公式和定理进行运 算和变换;变量较多时, 列函数真值表较繁琐。三、卡诺图ABC010001 11 1011110000优点 :便于求出逻辑函数的 最简与或表达式。缺点:不适于表示和化简变量 个数较多的逻辑函数。真值表的一种方块图表示形式。ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 1 1四、逻辑图ABYC&优点:逻辑图中的 逻辑符号,都有实 际电路器件存在, 因而最接近工程实 际。缺点: 不能进行运算 和变换,逻辑关系 不直观。&1用逻辑符号来表示函数表达式中各个变 量之间的运算关系的电路图。例画出函数 的逻辑图五、波形图输入变量和对应的输出变量随时间按 照一定逻辑规律变化的图形。ABY优点:形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上 的对应关系。缺点: 当变量个数增多时,画图较麻烦。1. 3. 2 几种表示方法之间的转换一、真值表函数式逻辑图转换举例1 有一举重裁判电路 。当一名主裁判A 和两名副裁判B 、C中有两人以上(必有主裁判) 认定运动员的动作合格时,试举 才算成功。 真值表函数式ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 0 1 1 1解卡诺图化简 ABC010001 11 1011010000 函数式逻辑图A B Y&C&1转换举例2 当输入变量A、B、C取值中有奇数个1时 ,输出变量Y=1,否则Y=0。且输入变量不会出现全0 的情况。解 列真值表ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1函数式化简得: 函数式逻辑图(P35)真值表函数式二、逻辑图0 1 10ABY00 01 10 11BA &第一章 小 结一、数制和码制一、数制和码制 1. 数制:计数方法或计数体制(由基数和位权组成)种 类类基 数位 权权应应 用备备 注十进进制0 910i日常二进进制0 ,12i数字电电路2 = 21八进进制0 78i计计算机程序8 = 23十六进进 制0 9,A F16i计计算机程序16 = 242. 码制:常用的 BCD 码有 8421 码、2421 码、5421 码、余 3 码等,其中以 8421 码使用最广泛。各种数制之间的相互转换,特别是十进制 二进制的转换 ,要求熟练掌握。二、常用逻辑关系及运算二、常用逻辑关系及运算 1. 三种基本逻辑运算:与 、或、非 2. 五种复合逻辑运算:与非 、或非、与或非、 异或、同或。三、逻辑代数的公式和定理三、逻辑代数的公式和定理 是推演、变换和化简逻辑函数的依据。 其中,摩根定理最为常用。如 求函数 的反函数,并化简。 解四、逻辑函数的化简四、逻辑函数的化简化简的目的是为了获得最简逻辑函数式,从而使逻辑 电路简单、成本低、可靠性高。化简的方法主要有公式 化简法和图形化简法两种。1. 公式化简法:可化简任何复杂的逻辑函数,但要求能熟 练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理, 并要求具有一定的运算技巧和经验。2. 图形化简法:简单、直观,不易出错,有一定的步骤和 方法可循。但是,当函数的变量个数多于 六个时,就失去了优点,没有实用价值。约束项: (无关项)可以取 0,也可以取 1,它的取值对逻辑函 数值没有影响,应充分利用这一特点化简 逻辑函数,以得到更为满意的化简结果。五、逻辑函数常用的表示方法五、逻辑函数常用的表示方法 : 真值表、卡诺图、函数式、 逻辑图和波形图。它们各有特点,但本质相同,可以相互 转换。尤其是由真值表 逻辑图 和 逻辑图 真值表, 在逻辑电路的分析和设计中经常 用到,必须熟练掌握。练习 1 完成下列数制和码制之间的相互转换128 16 4 2 1512 128 64 16 8 4 232 8 2 132 4 116 8 4 1练习 2 用公式法将下列函数化简为最简与或式。练习 3 用图形法将下列函数化简为最简与或式。(1)
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