2.2.3 向量数乘运算及其几何意义问题提出 1.如何求作两个非零向量的和向量、差 向量？2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 算，如33333=53=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究. abaabba+ba- b探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向 量aaa和（a）（a） （ a）？aaOaaABCaaaOMNPaaa （a）（a）（a）思考2：向量aaa和（a） （a）（a）分别如何简化其表示 形式？aaa记为3a， （a）（a）（a）记为3a.思考3：向量3a和3a与向量a的大小和 方向有什么关系？a aOaaABCaaaOMNP思考4：设a为非零向量，那么 a和 a 还是向量吗？它们分别与向量a有什么 关系？aaa思考5： 一般地，我们规定：实数与向 量a的积是一个向量，这种运算叫做向量 的数乘.记作a，该向量的长度与方向 与向量a有什么关系？（1）|a|=|a|；（2）0时,a与a方向相同；0时,a与a方向相反；=0时,a =0.思考6：如图，设点M为ABC的重心，D 为BC的中点，那么向量 与 ，与 分别有什么关系？ ABC DM探究二:向量的数乘运算性质 思考1：你认为2（5a），2a2b， a可分别转化为什么运算？-2 (5a)= -10a ； 2a 2b = 2(a+b)； (3 )a =3a a.思考2：一般地，设，为实数，则 (a)，() a，(ab)分别 等于什么？(a)=() a ； () a =a a； (a b)=ab.思考3：对于向量a（a0）和b，若 存在实数，使b=a，则向量a与b 的方向有什么关系？思考4：若向量a（a0）与b共线，则 一定存在实数，使b=a成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：向量a （a0）与b共线，当且仅当有唯一一 个实数，使b=a. 若a0，上述定 理成立吗？思考6：若存在实数，使 ， 则A、B、C三点的位置关系如何？思考7：如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？ABPO思考8：向量的加、减、数乘运算统称为 向量的线性运算，对于任意向量a、b， 以及任意实数、x、y，(xayb）可 转化为什么运算？(xayb）=xayb. 理论迁移例1 计算 （1）（3）4a； （2）3（ab）2（ab）a； （3）（2a3bc）（3a2bc）.2b3babO例2 如图，已知任意两个非零向量a ， b，试作 =ab， =a2b， =a3b.你能判断A、B、C三点之 间的位置关系吗？为什么？abABC例3 如图，平行四边形ABCD的两条对 角线相交于点M，且 =a， =b， 试用a,b表示向量 、 、 、 MA B D Cab小结作业 1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量 ，但实数与向量不能相加、相减.实数 除以向量没有意义，向量除以非零实数 就是数乘向量. 2.若a=0，则可能有=0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.作业： P90练习：3，4，5，6.