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泛函分析基础1 第四章赋范空间中的基本定理1.设p是赋范空间X上的次线性泛函,满足(0)0p,且在0处连续。求证:p是连续映射。证明:由p在 0 处连续,且满足(0)0p可得:0,0使得满足|x | |0|x的x都有|(x)(0) | |p(x) |pp。从而h满足|h |则|(h) |p任取0,xxX令zxhX,且满足| |zxh,由p是x的次线性泛函可以得到:(h)p(xh)p(x)p(x)p(h)p(x)p(h)p即|(xh)(h) | max| p(h) |,| p(h) |pp注意到| |,|hh从而|(h) |,| p(h) |p即得到|(xh)(x) |pp即p在x处连续,由x的任意性可知,p处处连续,为连续映射。2.设X为线性空间,:p X使得任取,x yX,有(xy)p(x)p(y),p(x)| p(x)p求证:p是X上的半范数证明:=0取,则由条件(x)| p(x)p得到(0)0p。由X是线性空间,其中存在零元和负元。任取,0xxX x则有:0(0)p(xx)(x)p(x)p(x)p(x)2 (x)ppp即(x)0p从而得证半范数的三个条件。即pX是上的半范数。3.设12,a a固定,考虑3的线性子空间3 1233(x ,x ,x ):x0Z及Z上的线性泛函1231122(x ,x ,x )afxa x 。求出所有f到3上的线性延拓泛函分析基础2 及其相应的线性泛函的范数。解:由线性我们自然想到,对于3x 应该为线性的。由 Hahn-banach定理可知:3*() ,|Zggf。并且对于形如1231 12233(x ,x ,x )ga xa xa x3a3 123(a ,a ,a )的线性泛函满足题目的要求。其范数为:222 123| |a |a |a |g4.设X为赋范空间,M为X的线性子空间,0xX 。求证:0xM 当且仅当,|0,MfXf都有0(x )0f证明:00nnxMxMxx使得,由于nxM|0Mf故1,(x )0nnf。fXf为连续映射0nxx 则0(x )(x )nff从而0(x )0f:假设对于fX,|0Mf都有0(x )0f的情况下0xM 则0()cxM注意到:M是X的闭线性子空间,M是X的真子集。令00= (x ,)inf|x| 0yMMy则由定理4.1.7 :fX使得0| | |1 ,|0 ,( x)0Mfff,又条件fX都有0(x )0f矛盾!从而假设不成立,0xM5.设X为可分赋范空间,求证:存在X单位球面的可数子集N,使得任取xX,有| sup| f(x) |x。证明:X为可分赋范空间X存在至多可数的稠密子集。令稠密子集为123x ,x ,x .A设123x ,x ,x .=XA则nxA,,| 1n mn mfXf泛函分析基础3 1,sup|(x )| |x |mn mnnf。6.设X为赋范空间,*fX 求证:(f)fXN为X的闭线性子空间证明:fXf是X上的有界线性算子,且X为赋范空间根据推论 2.4.1,()N f是X的闭线性子空间。:()N f是X的闭线性子空间。若| 0f,则fX显然。若| 0f对于:fX,0并且是的闭集,()N f是X的闭线性子空间,即()N f也为闭集。从而由定理1.2.6得:f是连续映射。再根据定理 2.4.4:,X为赋范空间,*fX 即:fX为线性的故有f是连续映射f是X上的有界线性算子。从而得证fX7.设X为赋范空间,M为X的非空子集。求证:若()span MX则( )0fMN f。证明:事实上由Hahn-Banach 定理 4.1.4 可知:fX有( )0f x则0x()Xspan M()fspan M有( )0f x则0x(),(),nnx span Mxspan MxxfM有( )0f x则0x( )0fMN f。另证:假设()fMN f,即000,( )fMxxN f。即00(),()00fspan Mf xx,。 另 一 方 面 , 由 于()span MX, 则,()nfXfspan M()nff n。从而对,( )( )nxX fxfx 。注意到:()0nnfx所以000=()()0()nfxf xn即4.1.4 00,()00HahnBanachfXf xx这与假设矛盾!结论得证。8.设X为赋范空间,M为X的线性子空间。xX,求证:( ,)sup|( ) |:,| 1,|0Mx Mf xfXff证明:M为X的线性子空间M为线性空间0()Mspan MM,泛函分析基础4 000xXMx。令0()ZspanMx定义gZ0( )()|g zg yx其中00,= (,)inf|yMyMxMxy,显然有,()0gMyMgy,00,()xXM g x。即,( ,)( )xXx Mg x0000,|( ) | |inf|inf|/|inf| y|y MyMy MzZg zxyxyxyxz从而| 1g。由 Hahn-Banach定理:,|,| |g| 1ZfXfgf|0Mfg( ,)|( )|:fX ,| f | 1,f |0Mx Mf x9.考虑0c 的线性子空间0 1:02n nn nxMxc。求证:任取xMx在M中无最佳逼近元。10. 设X为赋范空间,M为X的线性子空间,令:|0MMfXf。若12,MM 为X的闭线性子空间,且12MM 。求证:12MM 。11. 设赋范空间X中包含n个线性无关的元素, 求证:X也包含至少n个线性无关的元素。12. 设M为赋范空间X的非空子集,求证:M在X中为完全集在M上恒为0 的fX在X上也恒为 0. 13. 设,X Y为 赋 范 空间 ,*(, ),T(,)TB X YB Y X为 其 共 轭 算子 。 求 证 :*( )()R TN T。14. 设(,)X d为度量空间。求证:MX为无处稠密子集当且仅当()cM为X的稠密子集。15. 证明:非空完备度量空间的第一范畴子集的余集必为第二范畴子集。16. 设nx 为赋范空间X中的一列元,任给fX, ()nf x都是纯量有界列。求证:nx为有界列。泛函分析基础5 17. 设X为 Banach空间,Y为赋范空间,(,)nTB X Y 为一列有界线性算子,设任取xX,nT x 都是中的柯西列, 求证:存在常数0C,使得任取1n,| CnT。18. 在上题中又设Y为 Banach 空间,求证:存在(,)TB X Y,使得任取xX,nT xTx ,且1| sup|nnTT。19. 设X为 Banach空间,Y为赋范空间,(,)nTB X Y 为一列有界线性算子。证明下述命题相互等价:存在0C,| CnT; 任取xX,nT x 为Y中的有界列;任取,()nxX fYf T x为纯量有界列。20. 设X为赋范空间,,nx xX ,nx 弱收敛到x。求证::1nxspan xn。21. 设X为赋范空间,,nx xX ,nx 弱收敛到x。求证:ny 为123,.x x x的线性组合,使得nyx。22. 设,0,1nxxC,nx 弱收敛到x。求证:nx点点收敛到x。即任取0,1t,有( )( )nx tx t23. 设,X Y为赋范空间。(,)TB X Y,,nx xX ,nx 弱收敛到x。求证:nTx 弱收敛到Tx。24. 设X为赋范空间,, ,nnx y xyX ,,n,假设nx 弱收敛到x,ny 弱收敛到y,n。求证:nnxy 弱收敛到xy,nnx 弱收敛到x。25. 设X为可分 Banach 空间,MX为有界集。证明:M中任意序列均有子列弱星收敛到X中某元。26. 设,X Y为赋范空间,:TXY为闭线性算子,求证:( )N T为X的闭线性子空间;泛函分析基础6 若T为一一映射,则1:TYX也为闭线性算子。T将X的紧集映射到Y的闭集。Y中的紧集通过T的逆象为X的闭集。27. 设H为 Hilbert 空间,:A HH为线性算子,满足,Ax yx Ay ,,x yH求证:()AB H28. 设X为 Banach空间,12,XX 为X的闭线性子空间。假设任取xX,存在唯一的1122,xXxX ,使得12xxx 。求证:存在0a,使得112|xaxx,212|xaxx,11xX ,22xX29. 设,X Y为赋范空间,:TXY为线性算子。求证:T为闭算子当且仅当任取nxX ,0,nnxTxy ,都有0y。
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