二、齐次线性方程组定理：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组只有零解推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数（mn），则它必有非零解。推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是 |A|0.2 向量与向量组的线性组合 一、向量及其线性运算1.定义： n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数 ai称为第i个分量。如：行向量（行矩阵）列向量（列矩阵）2.一些特殊向量：（1）零向量：所有分量都为零的向量； （2）单位向量组：（3）的每一列都是m维列向量；而其每一行都是n维行向量。1n2（3）故A可记为：3.向量的线性运算： 向量的加法和数乘运算。矩阵的加法和数乘运算。线性方程组4.线性方程组的向量表示：可表示为1n2二、向量的线性组合 1.定义：给定向量组：1, 2, , s和向量，如果存 在一组数k1,k2,ks, 使得：=k11+k22+kss 则称可由向量组1,2,s 线性表示(线性表出)；又称是向量组1,2,s 的线性组合。例：若任一n维向量：则可由向量组1,2,3线性表示为： =2123例 零向量可由任一向量组线性表示：例 向量组1, 2, , s中的任一向量j都可由该向量组线性表示：例 判断向量 能否表示为向量组：的线性组合，若可以，写出表示式。解： 设，即：所以x1=2,x2=1， 即：=21+2.判断向量能否用向量组1,2,s线性表示，等同 于判断x11+x22+xss=是否有解。线性方程组2.定理：向量能用向量组1, 2, , s线性表示的充要条件是：注：(1) r(1, 2, , s)= r(1, 2, , s,)=s时，表示式唯一； (2) r(1, 2, , s)= r(1, 2, , s,) s时，表示式不唯一。r(1, 2, , s)= r(1, 2, , s,)2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示。三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组A:1,2,s；B:1,2,t 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。(传递性）3 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念引例 齐次线性方程组Ax=O的向量形式为显然，其必有零解。 (零向量可由任一向量组线性表示)其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数 k1,k2,kn, 使得：我们关心其是否有非零解？1.定义：对于向量组:1,2,s，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,ks, 使得：k11+k22+kss=O 则称向量组1,2,s 线性相关；如果当且仅当k1=k2=ks=0时上式才成立，则称向量组1,2,s 线性无关。例 1=(1,1)T,2=(2,2) T线性相关。 212=O例 n维单位向量组线性无关。若则：例 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关； 例 证明：若1,2线性无关，则1+2,12也线性无关。n维向量组:1,2,s线性相关等同于齐次线性方程组二 、向量组线性相关性的一些判定定理x11+x22+xss=O1.定理1：n维向量组:1,2,s线性相关r(1,2,s)s注：向量组:1,2,s线性无关r(1,2,s)=s有非零解。推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数，则它必有非零解。2.推论1：向量个数大于维向量维数时，向量组线性相关。推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是|A|0.对齐次线性方程组，我们有以下结论：所以对向量，我们相应有：3.推论2：n个n维向量组:1,2,n线性相关 |1,2,n |=0,线性无关|1,2,n |0.向量维数向量个数例 讨论 的线性相关性。解：所以r (1,2, 3)=2 3，从而1,2, 3线性相关。注：也可通过计算 得出结论。4.定理2：如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。 分析：k11+k22+krr=O若存在一组不全为零的数k1, k2 , , kr，使得：rs则：k11+k22+krr+0r+1+ 0s=O 5.推论3：线性无关向量组中任何一部分组皆线性无关。（部分相关，则整体相关）（整体无关，则部分无关）例 含有零向量的向量组线性相关。或：零向量线性相关01+02+ 0s+1O=O （部分相关，则整体相关）练习：判断以下向量组是否线性相关。1.1=(1,2,3)T,2=(0,4,5)T,3 =(0,0,6)T 2.1=(1,1,1)T,2=(3,2,3)T,3 =(4,3,4)T 3.1=(1,2,3)T,2=(2,3,4)T,3 =(3,4,5)T ,3 =(4,5,6)T 4.1=(1,0,0,2,5)T,2=(0,1,1,3,4)T,3 =(0,0,0,0,0)T练习： 1.=(1,1,1)T, =(1,3,0)T, =(2,4,1)T, 试将表示为, 的 线性组合。 =2.讨论1=(1,2,1)T, 2=(4,1,5)T, 3 =(2,1,1)T 的线 性相关性。 线性相关3.若1,2, 3线性无关，讨论12,23 ,31的线性相关性。线性相关4.课本96页第7题。