高一数学教研组一元二次方程实根的分布主讲人：李盛华问题的来源：课本复习参考题 .1、关于 的方程 至少有一个 负根的充要条件是 .2、关于x的方程3x2-10x+k=0有两个同号 且不相等的实根，求实数k的取值范围 .问题的误解：1、条件 是关于x的方程 有两正根的 条件，而不是 条件.反例：方程 无实数根.2、条件 是 的 条件，而不是 条件.反例： ，而 .必要不充分充要充分不必要充要问题的延伸：1、若关于x的方程 的两个根都大于1，则实数 的取值范围 是 . 2、关于x的方程 的两个根均大于 - 2小于4，求实数 的取值 范围.问题的解决：例1、若关于x的方程 的两个根都 大于1，则实数 的取值范围是 . 分析（1）方程有根，与 有关.仅仅靠韦达定理 是不够的.(2)方程有什么样的根，可以结合对应的二次函 数图象,数形结合解决.此时与 有 有关，及 有关.判别式端点的函数值 对称轴如图，函数 的 图象决定着：（1）最小值的正负，与判别式有关;（2）对称轴 ；（3）函数值 的正负.问题的解决：例1、若关于x的方程 的两个 根都大于1，则实数 的取值范围是 . 解：令 ，则 问题的解决：例2、关于x的方程 的两个根均 大于 - 2小于4，求实数 m 的取值范围.解：令 ，则所以,实数m的取值范围是 .问题的解决：其实实,有那么复杂吗杂吗 ? 例2、关于x的方程 的两个根均 大于 - 2小于4，求实数 m 的取值范围.另解: 原方程的两个根分别为别为 而 ，所以 ，由此可得 . 所以,实数m的取值范围是 .问题的启示：学会具体问题问题 具体分析 . 对于这道题而言,后一种办法比较简单,但是 要会前一种通法.例如, 关于x的方程 在区间 上有两个不同的解, 求实数 的 取值范围.用后一种方法解答比较困难.两种方法都要会,我们提倡具体问题具体分 析,哪一种解法简单就用哪一种.问题的根源：方程根的分布问题， 与对应的二次函数图象有关.（1） 函数的性质决定函数的图象,函数的 图象反映函数的性质. （2）方程有根，与判别式有关.对应的二次 函数图象与 轴有交点. （3）方程有什么样的根，与端点的函数值 有关，与二次函数图象的对称轴有关.仅 仅靠韦达定理是不够的.注:抛物线线就象一根电线电线 ,函数值值（包括 最小值值）就象铆钉铆钉 一样样,决定着它的走向 . 一元二次方程根的分布令 ，方程 在给定区间上有 实根的条件，常见的几种情况列表讨论如 下： （设是方程两个不相等的实根 且， 而 是常数，且 ）根的分布 图形特征 充要条件 其它 限制条件最多 只与函数值有关 仅有一根在 内 只与函数值有关 根的分布 图形特征 充要条件 其它 限制条件最多 只与函数值有关 仅有一根在 内 只与函数值有关 （3）二次函数图象的对称轴 小结：（1）端点的函数值（2）判别式课堂练习： 1、 关于x的方程在区间 上有两个不同的解.求实数 的取值范围.答案 ：说课部分一、来自课本，又高于课本，具有驾御教材，驾御问题的能力. 二、函数与方程的思想函数与方程的思想方法方法是高考数学常用四种思想方法 之一， 即： 函 数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法，而函数与方程的思想 方法居首位.函数与方程的思想方法就是对于数学问题要学会用变量和函数来思考，学会转 化未知与已知的关系。什么是函数思想？简单地说就是学会用变量和函数来思考 ，在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利 用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数，把表面不是函数的问题化归 为函数问题。著名数学家克来因说：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变 量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数知识，他在解决问题时往往是被动 的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学特别是高 中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等 函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数。因此数学教学中注重函 数思想是相当重要的.和函数有必然联系的是方程。方程就是函数的图象与轴交点的横坐标，函数也 可以看作二元方程，通过方程进行研究，要确定变化过程中的某些量往往要转化 为求这些量满足的方程。希望通过这些方程（组）来求得这些量。这就是方程思 想。方程思想就是动中求静，研究运动中的等量关系。在很多情况下，函数可以看作方程，方程可以看作函数，这种方程与函数辨证 关系，拓宽了我们解决常量问题的渠道应注意函数思想与方程思想常常是相辅相 成的。三、数型结合思想图形帮 助解题.数与形是事物的两个方面，正是基于对数与 形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使 人们能够从不同侧面认识事物。数型结合思想 就是要使抽象的数学语言与直观的图象语言结 合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。华 罗庚先生说：“数与形本是两依倚，焉能分作 两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微。 ” 数型结合思想是一种重要的解题思想，用 这种思想指导，一些几何问题可以用代数方法 处理，例如解析几何，一些代数问题又可以用 几何图形帮助解决。四、具体问题问题 具体分析. 提出问题，分析问题，解决问题，实事求 是.美国著名数学家哈尔莫斯说过：“问题是数 学的心脏.”被称为现代科学之父的爱因斯坦指出：“提 出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解 决一个问题也许是一个数学上的或实验上的技能 而已。而提出的问题，新的可能性，从新的角度 去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且 标志着科学的真正进步.” 英国科学家波普尔说：“科学知识的增长永 远始于问题，终于问题越来越深化的问题， 越来越能启发新问题的问题.” 四、具体问题问题 具体分析. 提出问题，分析问题，解决问题，实事求 是.(1) 求根法，解不等式；（2）韦韦达定理；（3）数型结结合；（4）转转化为为求函数的值值域. 五、学会学习，学会总结. 小总结小进步，大总结大进步，多总结多进步，常 总结，常进步，不总结不进步.老师总结，学生总结；练 习小结，考试总结；单元小结，专题总结；一天一小结 ，一周一小结，一月一总结，通过总结把我们零散的知 识消化简化序化网络化，块状化.乌申斯基指出：“智力是形成系统的知识”系统化 、结构化、网络化的知识便于记忆、理解、检索和应用. 系统论认为：系统地组织起来的材料所提供的信息远远 大于部分材料提供的信息之和.因此数学复习时，不应只是把所学的知识简单地重 复，而应该把基础知识从整体上按数学的逻辑结构、知 识之间的内在联系，进行整理.还要把平时所学的各个单 元的局部的分散的零碎知识，解题的思想方法，解题规 律进行数学联结，从而使学生从整体上，系统上、网络 上把握知识、思想、方法. 脚本：李盛华制作：李盛华欢迎批评斧正2004年10月20日星期三