高阶微分方程应用习题课第七章 微分方程二、二阶微分方程的实际应用 一、两类高阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法2. 二阶线性微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 降阶法令令逐次积分求解 2. 二阶线性微分方程的解法 常系数齐次情形 代数法特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .2. 二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形 代数法为常数其中 为实数 ,为 m 次多项式 .1 ）此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.2. 二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形 代数法为常数2 ）型则可设特解 :其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.的解. 例1设函数内具有连续二阶导1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且解 上式两端对 x 求导, 得 1) 由反函数的导数公式知(2003考研)代入原微分方程得 2) 方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解: 由初始条件 得故所求初值问题的解为 二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 )利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )初始条件 边界条件可能还有衔接条件2 . 解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义 例2解 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: (G 为引力系数)则有初值问题: 又设卫星的初速度代入原方程, 得两边积分得利用初始条件, 得因此注意到 为使因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即代入即得这说明第二宇宙速度为 练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在 下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 )提示: 建立坐标系如图.质量 m 体积 B由牛顿第二定律重力浮力 阻力初始条件为用分离变量法解上述初值问题得得质量 m 体积 B注意: 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0.例3 有一电路如图所示, 电阻 R 和电解 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i ;经过 L的电压降为因此有即初始条件: 由回路电压定律:其中电源求电流强度感 L 都是常量,解方程:由初始条件: 得利用一阶线性方程解的公式可得暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义: 求电容器两两极板间电压 练习题 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . 解 设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t) , 自感电动势为由电学知根据回路电压定律 :设有一个电阻 R , 自感L,电容C 和电源E串极板上 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例4 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力与阻力作用下作往复运动,解阻力的大小与运动速度向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手 物体在弹性取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.1）建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外则得强迫振动方程:力2）解在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律 为 初始设t = 0 时物体的位置的定解问题为由1） 知, 位移满足方程:特征方程:特征根:方程通解: 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )利用初始条件得:故所求特解:简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)解的特征 :方程:特征方程:特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振动解的特征 : 由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅: 衰减很快, 随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置.大阻尼解的特征: ( n k )1) 无振荡现象; 此图参数: 2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征 :( n = k )任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.2) 无振荡现象 ;此图参数: 3）的作用，求物体的运动规律. 解 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式:因此原方程之解为若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力代入可得: 当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式:代入可得: 方程的解为 若要利用共振现象, 应使p 与k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 练习1 容器内溶液的含糖量问题一容器内有糖水100L，含糖量为100克，现以 5L/min的速度注入浓度为10克/L的糖水，同时将 均匀混合的糖水以5L/min的速度排出. 求含糖量 对时间变化的函数？ 分析: 在时间微量dt 内容器含糖量的改变量解得该时间内排出盐水的含盐量该时间内注入盐水的含盐量微量平 衡原理练习2 污水治理问题某湖泊水量为V, 每年均匀排入含污染物A的污 水量V/6, 流入不含污物A的水量也是V/6,同时每年 以匀速将V/3的水量排出湖泊. 经测m(0)=5m0, 为 治理执行限排标准. 排入湖泊中的污染物含 A 浓度 不得超过每年m0/V.假定湖中含A总是均匀的, 问几 年后A含量不超过m0？湖中A的改变量流入A的量排出A的量解得君子之学，不为则已，为则必要其成， 故常百倍其功. 宋朱 熹希望同学们抓紧时间、克服困难，认真 复习，祝大家在考试中取得更好的成绩！最后，预祝各位同学及你们的家人过一 个祥和、温馨的春节！谢谢大家，再见！对各作业组组长的出色工作表示感谢！