page 1数列求和专题一、数列求和的常用方法及题型讲解：一、利用常用求和公式求和：1、等差数列求和公式： 2、等dnanS)1(2)(11比数列求和公式： )(1)(1 qaqanSn例 1 已知 ，求 的前 n 项和.3logl23x xx32例 2 设 Sn1+2+3+n，nN *,求 的最大值.1)()nSnf二、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a nb n的前 n 项和，其中 an 、 b n 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和： 32)2(7531xx例 4 求数列 前 n 项的和. ,64,2三、倒序相加法求和：这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1a例 5 求 的值 89sii3siin1si 22222 例 6已知函数 ，点 ， 是函数 图像上的两个点，且线Rxxf41,yxP,yxxf段 的中点 的横坐标为 21P21求证：点 的纵坐标是定值；若数列 的通项公式为 ，求数列 的前 m 项的和 ；namnNmnfa,21,naS四、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和： ，3,7,4112aan例 8 求数列n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和.五、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）（2）)(1(fnfa nnta)ta()1cos(i（3） （4）1)(nn )12()2( （5） )1(2na nnnnn S2)1(,2)()1()1(2 则例 9 求数列 的前 n 项和.,3, page 2例 10 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的11na 12nnab和.六、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 11 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.例 12 数列a n： ，求 S2002.naa12321,例 13 在各项均为正数的等比数列中，若 的值。103231365 loglogl,9a求七、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 14 求 之和. 1个 例 15 已知数列a n： 的值.11)(,)3(8nnaa求二、总结：例题选讲 1.已知点（1， 3）是函数 ,0)xf且 a）的图象上一点，等比数列 n的前 项和为cnf)(,数列 nb(的首项为 c，且前 n项和 S满足 n 1= S+ 1（ 2）.（1）求数列 a和 的通项公式；（2）若数列 1nb前 项和为 nT，问 2091的最小正整数 是多少? 2.在数列 a中， 11,()nna（1）设 nb，求数列 b的通项公式（2）求数列 na的前 项和 nS3.已知函数 321,.xF（1）求 208.;0909F（2）已知数列 na满足 1, 1nna,求数列 na的通项公式;(3) 求证: 123.4.已知 24)(xf数列 n的前 n 项和为 nS，点 )1,(naP在曲线 )(xfy上*Nn且 0,1na.（1）求数列 的通项公式； page 3（2）数列 nb的前 n 项和为且 nT满足 3816221nan，设定 1b的值使得数n是等差数列；（3）求证： *,421NSn.5.（2009 北京理）已知数集 1212,nnAaa 具有性质 P；对任意的,1ijij， ij与 ji两数中至少有一个属于 A.（1）分别判断数集 ,34与 1,26是否具有性质 P，并说明理由；（2）证明： 1a，且 112naa ；（3）证明：当 5n时， 345,成等比数列.三、课后练习一、选择题1头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 数列 的通项公式 ，则该数列的前（ ）项之和等于 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j na1nan 9A头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 989972头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在等差数列 中，若 ，则 的值为（ ）n4,84S20198aaA头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在等比数列 中，若 ，且 则 为（ ）a35nA头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 或 或)(nn 2)(26n4头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在等差数列 中， ，则 为（ n 70,0152aaa 1a）A头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 55头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知等差数列 项和为n的 前等于（ ）SaSn 则且若 ,38,0, 121A头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 38 96头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 等差数列 , 的前 项和分别为 , ,若 ,则 =（ ）nabnTnSnabA头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 33334二、填空题1头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知数列 中， ， ，则数列通项 _头htp:/w.xjkygcom126t:/.j na111nnaana page 42头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知数列的 ，则 =_头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12nSn 121098aa3头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 三个不同的实数 成等差数列，且 成等比数列，则 _头htp:/w.xjkygcom126t:/.j cba, bc,:b4头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在等差数列 中，公差 ，前 项的和 ，则nd0450S=_头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 953.a5头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若等差数列 中， 则n37048,aa13_.S6头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比 为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j q三、解答题1 已知数列 的前 项和 ，求nnnS2 一个有穷等比数列的首项为 ，项数为偶数，如果其奇数项的和为 ，偶数项的和为185，求此数列的公比和项数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1703 数列 的前多),60cos1lg(),.60cos1lg(),60cos1lg(,0l 12 n少项和为最大？4 已知数列 的前 项和 ，求na )34()1.3951nSn的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3215S