第二章第二章 单自由度系统在简谐激励下的受迫振动单自由度系统在简谐激励下的受迫振动2.1.1 振动微分方程2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3 受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4 受迫振动系统的能量关系 2.1.5 等效粘性阻尼 2.1.6 简谐简谐 激励作用下受迫振动动的过过渡阶阶段 受迫振动受迫振动激励形式激励形式系统在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数 ，也可以是非周期函数。，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励 可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次齐次解解: : x x1 1( (t t) )特解特解: : x x2 2( (t t) )有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解2.1.1 振动微分方程 2.1.1 振动微分方程 简谐激振力以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为 具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线 性非齐次常微分方程。 有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x x2 2( (t t)- )-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：间衰减的稳态响应：2.1.1 振动微分方程 它与激励同频，但有一个相位差它与激励同频，但有一个相位差简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动可见，对于工程实际来说，更关心的是可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动 ，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才 有意义。By substituting the particular solution to be determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relationsEquating the coefficients of and on both sides of the resulting equation, we obtainSolution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady state response of the damped mass-spring system under harmonic excitation:稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。关，仅仅取决于系统和激励的特性。2.1.1 振动微分方程 2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论 在低频区和高频区，当 1的区域(高频区或惯性控制区)， ， ，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、 1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 1略为偏左处有峰值。通常将1，即 pn 称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。 4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 1时，总有， /2 ,这也是共振的重要现象。2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论 5 品质因子与半功率带宽共振(仍按 考虑)时的放大因子称为品质 因子。由前面的公式得品质因子与半功率带宽在1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对 称的。放大因子为 的两个点称为半功率点。 对应于这两个点的激励频率分别为 和 ，它们 的差 称为半功率带宽。利用放大因子 的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率 比，即外激励频率，注意到 可得品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭 程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或 阻尼比。例题. 质量为M 的电机安装在弹性基础 上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距 为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动 如图示，试求电机的运动。弹性基础的作 用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运 动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为 c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。 转子偏心引起的受迫振动根据达朗贝尔原理，有= h转子偏心引起的受迫振动电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 阻尼比 较小时，在=1附近，值急剧增大，发生共振。 由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0； 当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的 固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 幅频幅频 特性特性 曲线曲线 和相和相 频特频特 性曲性曲 线线转子偏心引起的受迫振动简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较The form of this equation is identical to that of Eq., where z replaces x and replaces . the differential equation of motion isMaking the substitutionEq. becomeswhere y = Y has been assumed for the motion of the base. Thus the solution can be immediately written as Response of a damped system under the harmonic motion of the base If the absolute motion x of the mass is desired, we can solve for x = z + y. Using the exponential form of harmonic motion givesSubstituting into Eq., we obtainandResponse of a damped system under the harmonic motion of the base The steady-state amplitude and phase from this equation areandResponse of a damped system under the harmonic motion of the base Response of a damped S.D.O.F. system under the harmonic motion of the base Stop here after 100 minutes 幅频特性曲线和相频特性曲线幅频特性曲线和相频特性曲线也可以不按相对运动求解（见郑兆昌机 械振动），而直接求解质量块的绝对运 动。此时的运动微分方程为即相当于质量块受到了两个简谐激励的作用。不 论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所 得结果与上述结果相同。2.1.3受迫振动系统力矢量的关系 已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力（a）力多边形 (b) 1 (c) = 1 (d) 12.1.3受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4受迫振动系统的能量关系 从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是 输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐 激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。 受迫振动系统的稳态响应为周期 1. 激振力在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在 一周期内做功为 ，做功最多。 对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 。因此 ，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 或2. 粘性阻尼力 做的功 上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量 。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共 振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效 地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能 量而实现的。2.1.4受迫振动系统的能量关系 3. 弹性力 做的功能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.1.4受迫振动系统的能量关系 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为其特点是振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性 质及激励因素都有关。无激励时的自由振动系统对初始 条件的响应对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振幅都将 随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动伴随激励 而产生自 由振动, 称为自由 伴随振动2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 共振时的情况假设初始条件为由共振的定义, 时上式是 型,利用洛必达法则算出共振时的 响应为 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 可见,当时 ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间 后,共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后 ,且振幅与时间成正比地增大 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 图 共振时的受迫振动有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下 的运动微分方程为全解为式中2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有自 由伴随振动。 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 过渡阶段的响应在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由三部分组成总响应由三部分组成无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激 励无关。励无关。伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其 振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，